材料力学是工程领域基础学科之一，主要研究固体材料在外力作用下的变形和强度问题。本章节聚焦于拉伸、压缩和剪切三种基本受力情况。
2.1 轴力计算与轴力图绘制
在该问题中，我们需要确定不同截面上的轴力，并绘制轴力图。轴力图是表示杆件各截面轴力变化的图形工具。对于题目给出的两种情况，通过分析受力平衡，我们可以得出各截面的轴力值。例如，（a）图中，FR=5kN，从而得到各截面轴力；（b）图中，通过观察力的传递，可以确定每个截面的轴力状态。
2.2 应力计算
应力是力与受力面积的比值，分为正应力（沿截面法线方向）和剪应力（垂直于截面法线的分力）。题目中要求计算100mm²矩形截面杆在拉力20kN作用下的斜截面m-m上的应力以及最大正应力和剪应力。通过公式可以求得，斜截面上的正应力为32MPa，最大正应力为100MPa（发生在对角线处），最大剪应力为60MPa（同样发生在对角线处）。
2.3 截面选择
混凝土柱的设计要考虑其截面尺寸以满足强度条件，即许用应力不应超过实际应力。题目中，已知荷载、混凝土密度和许用应力，需选择合适的截面宽度a和b。这里应用了材料力学中的强度理论，通过计算确定截面尺寸，使得最大应力不超过许用值。最终得出，截面宽度a约为0.228m，b约为0.398m。
2.4 最小材料使用
在保证结构安全的前提下，优化设计通常旨在减少材料使用。题目中，AC和BC两杆受拉压应力相等，目标是找到使总材料用量最小的角度θ。通过建立平衡方程和应力关系，可以推导出θ的表达式，解出θ的值，从而实现材料最省。
2.5 最小位移问题
桁架结构的节点位移直接影响结构的稳定性。本题中，为了使节点C的铅垂位移最小，需要调整节点A的位置。这里涉及到能量方法，通过建立变分关系，求解使节点C位移为极小值的变量，即最佳位置的节点A与BC的距离。
2.6 应力与伸长计算
杆件在拉力作用下会产生伸长，同时杆内的应力也会达到某一值。通过胡克定律（Hooke's Law）可以计算出杆的最大正应力，即应力等于拉力除以横截面积。同时，利用胡克定律的延伸形式，可以求出杆的伸长量，即伸长等于拉力乘以长度除以弹性模量和横截面积的乘积。
材料力学中的拉伸、压缩和剪切问题是结构分析的基础，涉及轴力计算、应力分析、截面设计、最优化问题以及位移计算等多个方面，这些都是工程师在设计和评估结构时必须掌握的关键技能。通过解决这些问题，可以确保结构的安全性、稳定性和经济性。
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