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概率统计习题集带答案解析 概率论是数学的一个分支，涉及到随机事件的发生概率的研究。它是统计学的基础，是数据分析和科学研究的重要工具。本文档提供了 30 道概率统计习题，涵盖了概率论的基本概念、随机变量、事件独立、条件概率、随机过程等方面的知识点。 1. 设事件 A 和 B 的概率分别为 P(A) 和 P(B)，试求 P(A ∩ B) 和 P(A ∪ B)。 知识点：事件的概率、事件的交集和并集的概率计算。 2. 若事件 A 和 B 相互独立，试证明：P(A ∩ B) = P(A) × P(B)。 知识点：事件独立的定义和性质。 3. 设试验为掷 2 颗骰子，观察出现的点数。每种结果以记之，其中分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。设事件 A，事件 B。试求 P(A) 和 P(B)。 知识点：随机试验、事件的定义和概率计算。 4. 某人有 5 把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。问：（1）恰好第三次打开房门锁的概率？（2）三次内打开的概率？（3）如果 5 把里有 2 把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少？ 知识点：条件概率、 Bayes 定理的应用。 5. 设有甲、乙两袋，甲袋中装有个白球、个红球，乙袋中装有个白球、个红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的概率是多少？ 知识点：条件概率、随机事件的独立性。 6. 在时间间隔 5 分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于 30 秒，则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率？ 知识点：随机过程、泊松分布的应用。 7. 甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是 1 小时和 2 小时。试求一船要等待空出码头的概率？ 知识点：条件概率、随机过程。 8. 某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为 0.67 和 0.93，在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为 0.15。试求下列事件的概率：（1）仓库发生意外时能及时发出警报；（2）乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？ 知识点：条件概率、 Bayes 定理的应用。 9. 设为两随机变量，试求解下列问题：（1）已知 Cov(X, Y) = 0.5，求 E(XY)；（2）已知 E(X) = 2, E(Y) = 3，Cov(X, Y) = 0.5，求 E(X + Y)。 知识点：随机变量、协方差、期望值的计算。 10. 先把长为的木棍折断为两部分，再把较大的那一部分折断成两部分。试求所得三部分能成三角形的概率？ 知识点：几何概率、随机变量的分布。 11. 甲、乙、丙三人向同一飞机射击，假设他们的命中率都是 0.8。又若只有一人命中时，飞机坠毁的概率为 0.6；若恰有二人命中时，飞机坠毁的概率为 0.9；若三人同时命中，则飞机必然坠毁。试求：（1）飞机坠毁的概率；（2）若飞机已经坠毁，则坠毁的飞机是因为恰有二人命中的概率？ 知识点：条件概率、 Bayes 定理的应用。 12. 今有９门高射炮独立地向一飞机射击，每门炮能击中飞机的概率为 0.7。试求：（１）同时各射一弹，试求飞机被击中的概率；（２）欲以 90%以上的把握击中飞机，试问至少要布置多少门炮同时射击？ 知识点：随机过程、泊松分布的应用。 13. 某工厂有职工名，每名职工生日在一年中某一天的概率为 1/365。试求下列事件的概率：（１）恰有４名职工生日在同一天；（２）至少有４名职工生日在同一天？ 知识点：随机变量、分布的计算。 14. 假设飞机的每个发动机在飞行中出现故障的概率为 0.1，且各发动机故障与否是相互独立的。如果至少有的发动机正常，飞机可成功飞行。问对于多大的，４个发动机比２个发动机更为保险？ 知识点：条件概率、随机过程。 15. 设事件满足：P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, P(A ∩ B) = 0.2。试求三事件至少有一发生的概率？ 知识点：事件的概率、事件的交集和并集的概率计算。 16. 某地区气象资料表明，邻近的甲、乙两城市中的甲市全年雨天比例为 0.3，乙市全年雨天比例为 0.2，甲、乙两市至少的一城市为雨天比例为 0.4。试求下列事件的概率：（１）甲、乙两市同为雨天；（２）在甲市雨天的条件下乙市亦为雨天；（３）在乙市无雨的条件下甲市亦无雨？ 知识点：条件概率、随机过程。 17. 某地以英文字母及阿拉伯数字组成７位牌照。试求下列事件的概率：（１）牌照的前２位是英文字母、后５位是阿拉伯数字；（２）牌照中有２位是英文字母、另外５位是阿拉伯数字？ 知识点：随机变量、分布的计算。 18. 甲、乙两个乒乓球运动员进行单打比赛，如果每赛一局甲胜的概率为 0.6，乙胜的概率为 0.4，比赛既可采用三局两胜制，也可以采用五局三胜制，问采用哪种赛制对甲更有利？ 知识点：条件概率、随机过程。 19. 平面上画有平行线若干、其间距交替地等于厘米及 8 厘米。今任意地向平面投掷一半径为厘米的圆片。试求该圆与任一平行线不相交的概率？ 知识点：几何概率、随机变量的分布。 20. 甲、乙两人相约于一小时内在某地会面，商定先到者等候 10 分钟，过时即可离去。试求他们能会到的概率？ 知识点：条件概率、随机过程。 21. 平面上画有距离为的平行线若干条。今向此平面任意投一长为的小针。试求小针与平行线之一相交的概率？ 知识点：几何概率、随机变量的分布。 22. 若相互独立，则（1）独立；（2）独立；（3）独立。 知识点：事件独立的定义和性质。 23. 当掷五枚硬币时，已知至少出现两个正面，求正面数刚好是三个的条件概率？ 知识点：条件概率、随机过程。 24. 掷三颗骰子，若已知没有两个相同的点数，试求至少有一个一点的概率？ 知识点：随机变量、分布的计算。 25. 设事件的概率分别为和，试求下列三种情况下的值：（1）与互斥；（2）；（3） 知识点：事件的概率、事件的交集和并集的概率计算。 26. 将 3 个球随机地放入 4 个杯子中去，求杯子中球数的最大值分别为 1、2、3 的概率？ 知识点：随机变量、分布的计算。 27. 袋中有 12 个球，其中 8 个白球，4 个黑球，现从中任取两个，求：（1）两个均为白球的概率？（2）两个球中一个是白的，另一个是黑球的概率？（3）至少有一个黑球的概率？ 知识点：随机变量、分布的计算。 28. 将 10 本书随意放在书架上，求：其中指定的 5 本书放在一起的概率？ 知识点：随机变量、分布的计算。 29. 甲、乙二班共有 70 名同学，其中女同学 40 名，设甲班有 30 名同学，而女生 15名，求：在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率？ 知识点：条件概率、随机过程。 30. 设一仓库中有 10 箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有 5 箱、3 箱、2 箱，三厂产品的次品率依次为 0.1、0.2、0.3，从这 10 箱中任取一箱，求：（1）该箱产品的次品率；（2）该箱产品的次品率大于 0.2 的概率？ 知识点：条件概率、随机过程。