高等数学多元函数微分法.doc

《高等数学多元函数微分法》是一门深入探讨多元函数性质和应用的学科。本章主要涉及以下几个核心知识点： 1. **多元函数的基本概念**： - **领域和邻域**：邻域是指在一定距离内包含某个点的所有点的集合，例如在平面直角坐标系中，以点P为中心，r为半径的圆内的所有点构成了点P的r邻域。 - **区域和开集**：开集是由其内部所有点组成的集合，其中每个点都有一个完全位于集合内的邻域。例如，圆心在原点，半径为2的圆内部的点集是一个开集。 - **连通性和区域**：连通的开集被称为区域，它意味着在这个区域内任意两点可以通过不离开该区域的路径相连。而闭区域是包含其边界的开区域。 2. **多元函数的概念**： - **定义**：多元函数是多个自变量与一个因变量之间的关系，例如圆柱体的体积V与底半径r和高度h的关系。函数f:D→R，其中D是定义域，R是值域。 - **函数的定义域和值域**：定义域是所有使函数有意义的自变量组成的集合，值域是所有可能的因变量的集合。 - **一元、二元和n元函数**：n元函数是n个自变量和一个因变量的关系，当n=1时为一元函数，n=2时为二元函数，n>2时为多元函数。 3. **函数的连续性**： - **连续性定理**：多元函数的连续性涉及到在某点的极限值等于该点的函数值，且在该点的邻域内函数值的变化是连续的，没有跳跃或间断。 - **计算极限**：计算多元函数的极限是难点，需要考虑所有自变量趋向于特定值时，因变量的变化趋势。 4. **应用**： - 实际问题中的多元函数示例，如圆柱体体积与半径、高度的关系，理想气体状态方程等，说明了多元函数在物理、工程等领域的广泛应用。 5. **函数图形和定义域**： - 函数的图形是一个在空间中由所有点((,)zyxM构成的点集，这些点的坐标满足函数关系yxfz ￿=( )。 - 定义域的确定通常是基于函数表达式的有效性，例如自然对数函数的定义域要求分母不为零，而反余弦函数的定义域受到特定范围的限制。 理解这些基本概念和性质是学习多元函数微分法的基础，后续章节将进一步探讨偏导数、全微分、极值问题等内容，这些都是高等数学的重要组成部分，对于理解和解决复杂问题具有至关重要的作用。