【线面平行、面面平行的判定与性质】
在几何学中，线面平行和面面平行的概念是三维空间中的基本关系。以下是基于题目提供的内容和相关知识点的详细解释：
1. **线面平行的判定**：
- **定义**：如果一条直线与一个平面内的任何直线都不相交，那么该直线就平行于这个平面。
- **判定定理**（直线和平面平行的判定定理）：如果直线a在平面α外，并且与平面α内的任意一条直线都平行，那么a∥α。
2. **面面平行的判定**：
- **定义**：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行。
- **判定定理**（平面与平面平行的判定定理）：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
例子分析：
- **例1**：通过证明SA与平面MDB内的任意直线不相交，可以得出SA∥平面MDB。
- **例2**：利用正方形的性质，证明AC与BD平行，进一步推导出平面AC与平面BD平行。
- **例3**：构建辅助线，找到AP与平面BDM的交点G，证明PG∥MD，从而得出AP∥GH。
- **例4**：由于P、Q分别是三角形的重心，可以证明PQ是三角形的中位线，因此PQ平行于三角形的对应边，即PQ∥AC，所以PQ∥平面ACD。
- **例5**：在正方体中，寻找特定位置使得平面D1BQ与平面PAO平行，需要Q在CC1的中点上，这样平面D1BQ将与平面PAO平行。
练习题解析：
- **第1题**：答案为B，因为过一点A在平面内可以画一条且仅有一条直线与已知直线平行。
- **第2题**：答案为A，根据线面平行的性质，若直线a与直线b平行，且a平行于平面，则b也平行于平面。
- **第3题**：答案为B，如果两条直线在同一个平面上相交，则它们的交点在该平面上。
- **第4题**：答案为C，一条直线同时平行于两个相交平面，那么它必须平行于这两个平面的交线。
- **第5题**：答案为B，m∥β需要m与平面α内的任意一条直线平行并且m垂直于α与β的交线。
- **第6题**：答案为A，如果直线a平行于平面α的一条平行线，那么a平行于α。
- **第7题**：答案为C，直线b可能与平面α平行或相交，但不可能垂直，因为a在平面α内。
- **第8题**：答案为C，直线可以平行于平面，也可以相交，或者完全在平面内。
- **第9题**：答案为C，(1)错误，无数点不在α内不代表平行；(2)错误，直线与平面平行，与平面内的任意直线平行是可能的；(3)正确；(4)错误，直线a与平面内直线b平行不一定意味着a与平面平行。
- **第10题**：可以通过证明MN与平面PAD内的两条相交线平行来证明MN∥平面PAD。
- **第11题**：利用平行四边形性质和中点关系证明AC与BD平行，进而得出平面ABC∥平面PBC。
- **第12题**：通过证明三条中位线相互平行，可以推出三个三角形的重心所在的平面互相平行。
- **第13题**：首先证明EFGH是平行四边形，然后通过几何优化问题找出截面面积最大时E的位置和最大面积。
以上是对题目内容涉及的线面平行和面面平行的判定与性质的详细解释和例题解析。这些知识在高中数学中是基础且重要的，对于理解和解决空间几何问题至关重要。
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