等比数列是数学中的一个重要概念，特别是在初等数学和高中数学的学习中占有显著地位。一个等比数列是一个序列，其中任何一项都是它前面一项的固定比例，这个比例被称为公比。等比数列的一般形式是 \( a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \)，其中 \( a_1 \) 是首项，\( r \) 是公比，\( n \) 是项数。
1. 在等比数列 \( \{a_n\} \) 中，如果已知 \( a_2 \) 和 \( a_5 \)，可以通过公式 \( a_5 = a_2 \cdot r^{(5-2)} \) 求解公比 \( q \)。例如题目中给出 \( a_2 = 2 \) 和 \( a_5 = \sqrt[3]{2} \)，则 \( q = (\sqrt[3]{2}) / 2 \)。
2. 当知道等比数列的第一项 \( a_1 \) 和第 \( n \) 项 \( a_n \) 时，可以计算中间连续项的乘积，如 \( a_2a_3a_4a_5a_6a_7a_8a_9 = a_1^8 \cdot q^{36} \)。
3. 等比数列中，相邻三项 \( -1, a, b, -9 \) 满足等比关系，意味着 \( a^2 = (-1) \cdot (-9) \)，解得 \( a = \pm 3 \)。但因为 \( -1, a, b \) 同号，所以 \( a = -3 \)。
4. 如果数列 \( 1, a_1, a_2, 4 \) 既是等差数列又是等比数列，那么根据性质可以确定 \( a_1 \) 和 \( a_2 \) 的值，进而找到等比数列的公比。
5. 对于正项等比数列 \( \{a_n\} \)，若已知 \( a_2a_4 = 1 \) 且 \( S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 13 \)，可以利用等比数列的性质求解 \( b_n = \log_3 a_n \) 的前 10 项和。
6. 在等比数列中，已知 \( a_6 + a_2 = 34 \) 且 \( a_6a_2 = 30 \)，可以解出 \( a_4 \) 的值。
7. 等比数列的性质包括：\( a_1 + a_3 \geq 2a_2 \)（当所有项都是正数时），\( a_{2n}^2 = a_na_{n+1} \)，以及 \( a_{n+1}/a_n = r \)（公比）。
8. 若 \( a_3 > a_1 \)，则 \( a_4/a_2 > 1 \)，这表明等比数列可能递增或递减，具体取决于公比的正负。
9. 公比为 \( q \) 的等比数列满足 \( a_{n+1} = a_n \cdot q \)。例如，如果 \( a_na_{n+1} = 16n \)，可以解出 \( q \)。
10. 在等比数列中，若 \( a_na_{n+1} = 16n \)，则 \( q^n \cdot a_1a_2 = 16n \)，可以求出 \( q \)。
11. 当 \( |a_1| = 1 \)，\( a_5 = 8a_2 \) 且 \( a_5 > a_2 \)，可以通过等比数列的性质确定 \( a_n \) 的表达式。
12. 通过 \( a_6^2a_2 = 2 \) 和 \( a_5^2a_3 = 1 \)，可以解出等比数列的公比 \( q \)。
13. 正项等比数列 \( \{a_n\} \) 中，\( a_2a_5 = 10 \)，则 \( lga_3 + lga_4 = \log(a_3a_4) = \log(a_2a_5) = \log(10) \)。
14. 等比数列 \( \{b_n\} \) 中，\( b_3 \cdot b_9 = 9 \)，根据等比数列性质 \( b_6^2 = b_3b_9 \)，可求得 \( b_6 \)。
15. 文科数学问题中，等比数列的乘积可能涉及到三角函数，例如 \( \tan(a_1a_4a_9) \)。
16. 等比数列的乘积性质 \( a_4a_8 = (a_6)^2 \) 可用于计算 \( a_6(a_2 + 2a_6 + a_{10}) \)。
17. 当 \( S_n/S_m = 3 \) 时，利用等比数列的求和公式可以推导出 \( S_{m+n} \)。
18. 在 \( a_2 = 1/a_1 \) 且 \( a_4 = 9a_3 \) 的情况下，可以求出 \( a_4 + a_5 \)。
19. 在正项等比数列 \( \{a_n\} \) 中，\( a_2a_3a_4 = a_1^3 \cdot r^3 \)，因此 \( a_1a_2a_3 = 9 \)。
20. 当等比数列 \( \{a_n\} \) 的项乘积满足 \( a_4a_7 + a_5a_6 = 16 \)，则 \( \log_2(a_1) + \log_2(a_2) + \ldots + \log_2(a_{10}) \) 可以用对数的性质来求解。
21. 若 \( a_4 \) 和 \( a_8 \) 是二次方程的根，那么 \( a_5a_6a_7 = a_4a_8 \cdot a_6 \)。
22. 等比数列的项乘积 \( a_3a_4a_5a_6a_7 = 243 \)，可以求出 \( a_4^5 \)。
23. 在 \( 3 \) 和 \( 9 \) 之间插入两个正数，使得前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，可以设定这两个数，并解出它们的和。
24. 等比数列 \( 1, a_2, 9, \ldots \) 的公比可以通过比较相邻项的关系得出。
25. 数列 \( \{a_n\} \) 的前 \( n \) 项和满足 \( S_n + S_m = S_{n+m} \)，可以推断出 \( a_{n+1} = a_{n+2} = \ldots = a_{n+m} \)。
26. 对于等比数列 \( \{a_n\} \) 的平方项之和与原数列项的乘积之间的关系，可以使用等比数列的性质来解题。
27. 当 \( a_1 = 1 \)，\( 4a_1, 2a_2, a_3 \) 成等差数列，可以求出公比 \( q \) 并计算 \( S_4 \)。
28. 数列 \( \{a_n\} \) 的通项公式可以通过递推关系 \( a_n = 2a_{n-1} + 3 \) 来构建。
29. 数列的前 \( n \) 项之和可以通过递推关系或等差/等比数列的性质来求解。
30. 等比数列的前 \( n \) 项和 \( S_n \) 与公比 \( q \) 有关，利用 \( S_n \) 的表达式和给定条件可以解出 \( q \)。
这些习题涵盖了等比数列的基础知识，包括定义、性质、通项公式、求和公式、等差数列与等比数列的结合、数列项的关系、以及与指数和对数的联系。通过解决这些习题，学生可以深入理解等比数列的概念并提高解题能力。
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