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平面向量复习讲义 本资源是关于平面向量的详细讲义，涵盖了向量的概念、表示方法、线性运算、数乘等方面的知识。 一、向量的概念 1. 向量的概念：向量是一种既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。 2. 零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的。 3. 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）。 4. 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 5. 平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。 提醒：① 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；② 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③ 平行向量无传递性！ 二、向量的表示方法 1. 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后。 2. 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等。 3. 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三、平面向量的线性运算 1. 向量加法： （1）三角形法则：（“首尾相接，首尾连”），如图，已知向量 a、b。在平面内任取一点，作＝，＝，则向量叫做与的和，记作定：a + 0-= 0 +a=a，当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<||+||；当与同向时，则+、，同向，且|+|=||+||；当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+|=||-||。 （2）向量减法： 定义：向量减法的定义：向量 a 加上的 b 相反向量，叫做 a 与 b 的差。即：a  b = a + (b) 结论：（1）向量加法的交换律：+=+（2）向量加法的结合律：(+)+=+ (+) 2. 向量数乘： （1）求实数 λ 与向量 a 的积的运算：λa|＝|λ|_|a|。 （2）当 λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当 λ＝0 时，λa＝0。 （3）向量数乘的运算律：λ(μa)＝（λμ）a；（λ＋μ）a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb。 （4）共线向量定理：a 是一个非零向量，若存在唯一一个实数 λ，使得 b＝λa，则向量 b 与非零向量 a 共线。 注意：（1）证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线。（2）向量 a、b 共线是指存在不全为零的实数 λ1，λ2，使 λ1a＋λ2b＝0 成立，若 λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0 时成立，则向量 a、b 不共线。 例 1. 设两个非零向量 a 与 b 不共线，（1）若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A、B、D 三点共线；（2）试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线。