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GNU Scientiﬁc Library

Reference Manual

Edition 2.3, for GSL Version 2.3

9 December 2016

Mark Galassi

Los Alamos National Laboratory

Jim Davies

Department of Computer Science, Georgia Institute of Technology

James Theiler

Astrophysics and Radiation Measurements Gr ou p, Los Alamos National Laboratory

Brian Gough

Network Theory Limited

Gerard Jungman

Theoretical Astrophysics Group, Los Alamos National Laboratory

Patrick Alken

University of Colorado at Boulder

Michael Booth

Department of Physics and Astronomy, The Johns Hopkins University

Fabrice Rossi

University of Paris-Dauphine

Rhys Ulerich

Table of Contents

1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Routines available in GSL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 GSL is Free Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Obtaining GSL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 No Warranty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.5 Reporting Bugs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.6 Further Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.7 Conventions used in this manual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Using the library . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1 An Example Program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Compiling and Linking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 Linking programs with the library . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.2 Linking with an alternative BLAS library . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Shared Libraries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 ANSI C Compliance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5 Inline functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.6 Long double. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.7 Portability functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.8 Alternative optimized functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.9 Support for diﬀerent numeric types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.10 Compatibility with C++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.11 Aliasing of arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.12 Thread-safety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.13 Deprecated Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.14 Code Reuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Error Handling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1 Error Reporting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Error Codes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 Error Handlers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.4 Using GSL error reporting in your own functions . . . . . . . . . . . . . . 13

3.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Mathematical Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.1 Mathematical Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2 Inﬁnities and Not-a-number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.3 Elementary Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.4 Small integer powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.5 Testing the Sign of Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.6 Testing for Odd and Even Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.7 Maximum and Minimum functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.8 Approximate Comparison of Floating Point Numbers . . . . . . . . . . 19

5 Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.1 Representation of complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2 Properties of complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.3 Complex arithmetic operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.4 Elementary Complex Fun ctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.5 Complex Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.6 Inverse Complex Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.7 Complex Hyperbolic Fun ctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.8 Inverse Complex Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.9 References and Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6 Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.1 Polynomial E valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.2 Divided Diﬀerence Representation of Polynomials. . . . . . . . . . . . . . 28

6.3 Quadratic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.4 Cubic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6.5 General Polynomial Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6.6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.7 References and Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

7 Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7.1 Usage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7.2 The gsl

sf result struct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7.3 Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

7.4 Airy Functions and Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

7.4.1 Airy Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

7.4.2 Derivatives of Airy Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7.4.3 Zeros of Airy Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7.4.4 Zeros of Derivatives of Airy Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7.5 Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7.5.1 Regular Cylindr ical Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7.5.2 Irregular Cylindr ical Bessel Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7.5.3 Regular Modiﬁed Cylindrical Bessel Functions . . . . . . . . . . . . 37

7.5.4 Irregular Modiﬁed Cylindrical Bessel Functions . . . . . . . . . . . 38

7.5.5 Regular Sph er ical Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7.5.6 Irregular Sph er ical Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7.5.7 Regular Modiﬁed Spherical Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . 40

7.5.8 Irregular Modiﬁed Spherical Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . 41

7.5.9 Regular Bessel Function—Fractional Order . . . . . . . . . . . . . . . 42

7.5.10 Irregular Bessel Fun ctions—Fractional Order . . . . . . . . . . . . 42

7.5.11 Regular Modiﬁed Bessel Functions—Fractional Order . . . . 42

7.5.12 Irregular Modiﬁed Bessel Functions—Fractional Order . . . 42

7.5.13 Zeros of Regular Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7.6 Clausen Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7.7 Coulomb Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7.7.1 Normalized Hydrogenic Bound States. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.7.2 Coulomb Wave Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

iii

7.7.3 Coulomb Wave Function Normalization Constant . . . . . . . . . 45

7.8 Coupling Coeﬃcients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.8.1 3-j Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.8.2 6-j Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.8.3 9-j Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.9 Dawson Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.10 Debye Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.11 Dilogarithm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.11.1 Real Argument. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.11.2 Complex Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.12 Elementary Operations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.13 Elliptic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.13.1 Deﬁnition of Legendre Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.13.2 Deﬁnition of Carlson Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.13.3 Legendre Form of Complete Elliptic Integrals . . . . . . . . . . . . 49

7.13.4 Legendre Form of Incomplete Elliptic Integrals . . . . . . . . . . 49

7.13.5 Carlson Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.14 Elliptic Functions (Jacobi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.15 Error Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.15.1 Error Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.15.2 Complementary Error Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.15.3 Log Complementary Error Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.15.4 Probability functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.16 Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.16.1 Exponential Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.16.2 Relative Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.16.3 Exponentiation With Err or Estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.17 Exponential Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.17.1 Exponential Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.17.2 Ei(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.17.3 Hyperbolic Integrals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.17.4 Ei

3(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.17.5 Trigonometric Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.17.6 Arctangent Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.18 Fermi-Dirac Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.18.1 Complete Fermi-Dirac Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.18.2 Incomplete Fermi-Dirac Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.19 Gamma and Beta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.19.1 Gamma Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.19.2 Factorials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.19.3 Pochhammer Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.19.4 Incomplete Gamma Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.19.5 Beta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.19.6 Incomplete Beta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.20 Gegenbauer Fu nctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.21 Hypergeometric Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.22 Laguerre Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.23 Lambert W Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

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