### MATLAB实验(三): 双线性变换法设计IIR滤波器
#### 实验目的概览
在本次实验中，我们将深入探索MATLAB在设计无限脉冲响应（IIR）滤波器中的应用，特别关注双线性变换法的设计过程。通过实验，学生将能够：
1. **理解脉冲响应不变法与双线性变换法的基本概念**：这包括对比两种方法的特点和适用场景，以及它们在信号处理中的角色。
2. **掌握双线性变换法的设计原理**：重点在于如何利用该方法设计低通、带通和高通滤波器，并编写相应的MATLAB代码。
3. **比较双线性变换法与脉冲响应不变法的频域特性**：通过实验观察，学生将能直观理解不同方法下的滤波器性能差异。
4. **熟练掌握Butterworth和Chebyshev滤波器的设计流程**：包括使用双线性变换法从头开始设计滤波器的全过程。
5. **熟悉多项式运算的计算机编程技巧**：这对于实现滤波器设计中的数学模型至关重要。
#### 实验原理与方法详解
**双线性变换法**是一种广泛应用于工程实践中的IIR滤波器设计技术，它通过将模拟滤波器转换为数字滤波器，确保了数字滤波器的频率响应与模拟原型的频率响应相匹配。这种方法克服了脉冲响应不变法中可能出现的频谱混淆问题，通过使用特定的变换式：
\[
s = \frac{2}{T} \cdot \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}
\]
建立了s平面（模拟域）与z平面（数字域）之间的单值映射关系。其中，\(T\)表示采样周期，这个映射关系保证了整个\(j\Omega\)轴单值地对应于单位圆一周，避免了频谱的周期延拓效应。
**预畸变处理**是双线性变换法的一个关键步骤，通过调整数字滤波器的临界频率，确保了设计出的滤波器能在所需的位置上精确工作。这一过程通常涉及到模拟滤波器原型参数的计算，利用成熟的计算公式和归一化设计表格。
**Butterworth与Chebyshev滤波器的设计**是本次实验的重点之一。Butterworth滤波器以其平坦的通带特性著称，而Chebyshev滤波器则允许在通带或阻带有选择性的纹波，以换取更陡峭的过渡带。设计过程中，学生将学习如何根据给定的规格（如通带截止频率、最大通带纹波、最小阻带衰减等）来确定滤波器的阶数和原型参数。
**多项式运算**在滤波器设计中扮演着基础但重要的角色。无论是计算滤波器的传递函数还是分析其频率响应，都离不开对多项式的操作。因此，实验还将涵盖如何在MATLAB中执行多项式的乘法和乘方运算，这不仅加深了对数学模型的理解，也为实际的滤波器设计提供了工具支持。
本次实验旨在通过MATLAB平台，让学生全面掌握IIR滤波器设计的核心技术和实践技巧，特别是双线性变换法的应用，为未来从事信号处理领域的研究和开发奠定坚实的基础。
