模式识别和检测技术是计算机科学和人工智能领域中的关键分支，主要关注从数据中发现规律、理解和分类信息。本文档提供的是关于"回归的线性模型"的翻译，出自电子信息学院测控技术与仪器专业的课程，旨在帮助读者理解监督学习中的回归分析。
回归分析是一种预测性的建模技术，用于根据一个或多个输入变量\( x \)的值来预测一个或多个连续的目标变量\( t \)的值。在本书之前的章节中，我们已经接触到了一个回归问题的例子，即多项式曲线拟合。多项式是线性回归模型的一个具体实例，这类模型的特点在于其可调整参数的线性关系。
最简单的线性回归模型直接将输入变量作为线性函数。然而，通过固定集合的非线性函数（称为基函数）的线性组合，我们可以得到更具有实用价值的一类模型。这些模型在参数上是线性的，这使得它们具有简单的解析性质，同时在输入变量上可以是非线性的。
训练数据集由N个观察值\({x_n}\)，其中\( n = 1, ..., N \)，以及对应的靶值\({t_n}\)组成。目标是为新的输入值\( x \)预测\( t \)的值。最直观的方法是直接构建一个函数\( y(x) \)，其对于新输入\( x \)的值构成对\( t \)相应值的预测。从概率的角度来看，我们的目标是建模预测分布\( p(t|x) \)，因为它表达了我们对每个\( x \)值下\( t \)值不确定性。
线性模型的预测能力来自于它们的简洁性和解析性。对于线性回归，我们通常会用最小二乘法或梯度下降等方法来优化参数，找到使预测误差最小化的模型。这种方法可以解决简单的线性关系，但当数据呈现非线性特征时，就需要引入非线性基函数，如多项式、正弦波、指数函数等，形成所谓的多项式回归或样条回归。
在实践中，线性模型的评估通常涉及残差分析、R平方、均方误差(MSE)等统计指标。为了处理过拟合或欠拟合问题，可能需要使用正则化技术，如岭回归（Ridge回归）或套索回归（Lasso回归），通过添加惩罚项来限制模型复杂度。
此外，线性模型也可以扩展到多元线性回归，处理多个输入变量对目标变量的影响。对于非线性关系，可以通过构建广义线性模型（Generalized Linear Models, GLMs），例如泊松回归和逻辑回归，它们虽然在形式上是线性的，但通过对响应变量进行特定的链接函数转换，可以适应各种类型的非线性分布。
在机器学习中，线性模型因其高效性和解释性而被广泛使用，但也存在局限性。当数据的内在关系高度非线性时，可能需要转向决策树、随机森林、支持向量机、神经网络等更复杂的模型。然而，线性模型作为基础工具，仍然是理解和解决许多实际问题的重要起点。
