FFT算法分析及方法

基于把长序列的DFT逐次分解为较短序列的DFT原理，按照抽取方式的不同分为DIT-FFT（按时间抽取）和DIF-FFT（按频率抽取）算法。按照蝶形运算的构成不同可分为基2、基4、基8以及任意因子（2n,n为大于1的整数）,给出算法原理及方法，便于运用编程。 FFT（快速傅里叶变换）算法是一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）的方法，广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域。其基本思想是通过分解长序列的DFT为一系列较短序列的DFT，从而显著减少计算量。 DIT-FFT（按时间抽取）和DIF-FFT（按频率抽取）是两种不同的FFT实现方式。DIT-FFT是从原始序列的起始位置开始，按照时间顺序进行抽取和计算；而DIF-FFT则是从频域的零频率开始，按照频率顺序抽取。这两种方法在本质上没有本质区别，都是通过分治策略进行计算，仅在复数加减法和旋转因子乘法的顺序上有差异，但运算量相同。 在基2的FFT中，每次分解序列长度减半，蝶形运算单元是最基本的计算单元，包括1次复数乘法和2次复数加法。对于N点序列，需要M级蝶形运算，每级包含N/2个蝶形，总运算量为N/2次复数乘法和N次复数加法，比直接计算DFT的N^2次复数乘法和N^2次复数加法大大减少。 基4的FFT进一步优化了运算效率，每个基4蝶形运算单元包含3次复数乘法和8次复数加法。对于N点序列，采用基4算法需要M/2级蝶形，每级N/4个，运算量为N/2次复数乘法和2N次复数加法，虽然比基2算法的乘法运算量少，但增加了硬件实现的复杂性。 在FPGA（现场可编程门阵列）上实现FFT，通常会采用流水线结构以提高运算速度。例如，8点复数DIF-FFT的实现需要3级蝶形运算单元，每级4个蝶形。为了适应串行输入和并行计算的需求，需要在输入和输出处添加串并转换模块，以及在各级之间使用延时对齐模块。此外，还需要一个旋转因子生成模块，通常使用ROM来存储和提供各级所需的旋转因子。 在具体实现时，考虑到运算效率和资源利用率，可能会在某些环节简化或优化，例如最后一级的旋转因子为1，可以省去乘法器。同时，通过流水线寄存器可以在不增加额外计算时间的情况下提高处理速度。 FFT算法的分析和实现涉及到序列的分解策略、运算单元的设计、数据流的管理和硬件优化等多个方面。理解这些核心概念和技术对于有效地应用FFT算法和实现高效的硬件解决方案至关重要。