全等三角形问题中常见的辅助线_倍长中线法.doc

### 全等三角形问题中的辅助线技巧：倍长中线法 #### 一、引言 在解决涉及全等三角形的几何题目时，合理地构造辅助线往往能够简化问题，使得解题过程更加直观明了。其中，“倍长中线法”是一种常用且非常有效的技巧。本文将详细介绍“倍长中线法”的基本概念、应用场景以及通过典型例题来展示其解题思路。 #### 二、倍长中线法的基本原理 在△ABC中，如果AD是BC边上的中线，则倍长中线法通常指通过延长AD或其相关的线段来构建新的三角形，以便更好地利用全等三角形的性质解决问题。具体来说，倍长中线法可以分为以下几种方式： 1. **直接倍长**：直接延长AD到E，使DE=AD，然后连接BE。 2. **间接倍长**： - 方式1：构造垂直线，如作CF⊥AD于F，再作BE⊥AD的延长线于E，最后连接BE。 - 方式2：通过延长线段并使其等于原线段长度的方式来构造新的三角形，例如延长MD到N，使DN=MD，然后连接CD。 #### 三、典型例题分析 ##### 例1 已知△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是多少？ **解析**：本题需要利用倍长中线法，通过倍长AD来构造新的三角形，进而利用三角形两边之和大于第三边的性质求解。设倍长后的点为E，则DE=AD。利用三角形两边之和大于第三边的原则，可以得到AD的取值范围。 ##### 例2 已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF。求证：BD=CE。 **解析**：此题提供了三种不同的证明方法，每种方法都巧妙地利用了倍长中线法或者平行线法来构造全等三角形。方法1通过构造平行线来证明两个三角形全等；方法2同样利用平行线但构造的方式不同；而方法3则是通过垂直线来构造全等三角形。 ##### 例3 已知△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小。 **解析**：本题可以通过构造全等三角形来证明BE+CF与EF之间的关系。一种方法是先在DA上截取一段等于BD的长度，然后通过证明一系列三角形的全等来得出结论。 ##### 例4 已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF。 **解析**：该题提供了两种证明方法。方法1通过倍长AD至G，然后证明两个三角形全等，进一步推导出等腰三角形的性质来解决问题；方法2则通过倍长ED，虽然没有给出具体的证明步骤，但原理与方法1类似。 ##### 例5 已知△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE。 **解析**：通过倍长AE至M，然后连接DM，利用全等三角形的性质来证明AD平分∠BAE。 #### 四、练习题解析 1. **题目1**：在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。探究线段AB与AF、CF之间的数量关系。 2. **题目2**：ΔABC中，∠C=90°，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE。 3. **题目3**：在△ABC中，AD平分∠BAC，CM⊥AD于M，若AB＝AD，求证：2AM＝AC＋AB。 4. **题目4**：△ABC中，AD是边BC上的中线，DA⊥AC于点A，∠BAC=120°，求证：AB=2BC。 5. **题目5**：AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM。 通过上述例题和练习题的解析可以看出，倍长中线法是一种非常实用且灵活多变的解题技巧。它不仅能够帮助我们快速找到解决问题的关键点，还能够提高我们的几何直觉和思维能力。希望读者能够在实践中不断探索和完善这一技巧，从而更好地应对各种复杂的几何问题。