因式分解法解一元二次方程典型例题
一元二次方程是数学中的一种常见方程式,它的解法有多种,但本文主要介绍因式分解法解一元二次方程的方法。因式分解法是一种重要的解题方法,它可以将一元二次方程化为两个一次方程,从而简化解题过程。
典型例题一:用因式分解法解以下方程:
(1)y2+7y+6=0;
(2)t(2t-1)=3(2t-1);
(3)(2x-1)(x-1)=1.
解:(1)方程可变形为(y+1)(y+6)=0,y+1=0 或 y+6=0,∴y1=-1,y2=-6。
(2)方程可变形为 t(2t-1)-3(2t-1)=0,(2t-1)(t-3)=0,2t-1=0 或 t-3=0,∴t1=,t2=3.
(3)方程可变形为 2x2-3x=0,x(2x-3)=0,x=0 或 2x-3=0,∴x1=0,x2=。
说明:在用因式分解法解一元二次方程时,一般地要把方程整理为一般式,如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积,而右边为零时,则可令每一个一次因式为零,得到两个一元一次方程,解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。
典型例题二:用因式分解法解以下方程:
解:把方程左边因式分解为:∴或∴
说明:对于无理数系数的一元二次方程,若左边可分解为一次因式积的形式,均可用因式分解法求出方程的解。
典型例题三:用因式分解法解以下方程。
解:移项得:把方程左边因式分解得:∴或∴
说明:在用因式分解法解一元二次方程时,一定要注意,把方程整理为一般式,如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积,而右边为零时,则可令每一个一次因式都为零,得到两个一元一次方程,解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。
典型例题四:用因式分解法解以下方程:
(1);
(2);
分析:一元二次方程化为一般形式后,在一般情况下,左边是一个二次三项式,右边是零。二次三项式,通常用因式分解的方法,可以分解成两个一次因式的积,从而可求出方程的根。
解:(1)原方程可变形为或,∴。(2)原方程可化为,即 ,∴,2
说明:因式分解将二次方程化为一次方程求解,起到了降次的作用。这种化未知为已知的解题思想,是数学中的“化归思想”。事实上,将多元方程组化为一元方程,也是此法。
典型例题五:用因式分解法解方程:
(1);
(2);
(3);
(4)
分析:用因式分解法解一元二次方程时,应将方程化为的形式,然后通过或,求出。
解:(1),或。(2),即 。∴或,∴。(3),即 或。∴。(4),即 或,∴。
说明:有些系数或常数是无理数的一元二次方程,只要熟悉无理数的分解方法,也可将之和因式分解法求解。
典型例题六:用适当方法解以下方程:
(1);
(2);
(3);
(4)(5)(用配方法)
解:(1)移项,得,方程两边都除以 2,得,解这个方程,得,,即,(2)展开,整理,得方程可变形为或,∴(3)展开,整理,得,方程可变形为 或∴(4)∵,∴∴, (5)移项,得,方程各项都除以 3,得配方,得,解这个方程,得,
说明:当一元二次方程本身特征不明显时,需先将方程化为一般形式(),若,a、c 异号时,可用直接开平方法求解,如(l)题.若,, 时,可用因式分解法求解,如(2)题.若a、b、c 均不为零,有的可用因式分解法求解,如(3)题;有的可用公式法求解,如(4)题.配方法做为一种重要的数学方法也应掌握,如(5)题.
典型例题七:解关于的方程
解法一:原方程可变形为或∵,∴
解法二: ∵,,,,又 ,∴∴
说明:解字母系数,需要注意方程两边不能除以含有未知数的整式,否则可能丢掉一个根。