全国1997年初中数学联合竞赛试题涵盖了多个数学知识点，包括代数、几何和数论。以下是这些题目涉及的主要知识点及其解析：
1. **选择题**
- 问题1测试了倒数的概念，正确的答案是D.4个，因为0的倒数不存在。
- 问题2是一个不等式的应用，需要解出x的值，然后计算满足条件的整数x的个数。
- 问题3考察了代数恒等式和平方运算，最大值可以通过配方求得，正确答案是A.27。
- 问题4是几何与数论的结合，通过分析给定距离，最小n值是6，因为可以形成一个正六边形。
- 问题5是梯形和平行四边形性质的应用，可以通过中位线定理来解决。
2. **填空题**
- 问题7需要利用等边三角形的性质和垂线段的性质来计算面积。
- 问题8涉及二次方程和整数解的问题，需要找到满足条件的整数b。
- 问题9是一个不等式组，需要找到a和b的取值范围，然后求2^3sab的取值范围。
- 问题10是勾股数的性质，可以通过分解质因数来确定x和y的可能值。
3. **第二试**
- 第一部分是一个几何证明题，涉及到等腰直角三角形和相似三角形的性质，要求证明BC⊥BD，且BC=BD。
- 第二部分是二次方程的根与系数关系，以及整数解的问题，需要通过给定的条件推导出(a, b)的所有可能值。
- 第三部分是数论问题，探讨了质数和整数倍的关系，要求找到n的最大可能值，并给出证明。
这些题目不仅测试了学生的数学基础知识，还强调了解题策略和逻辑推理能力。解决这些问题需要深入理解数的性质、几何图形的性质、代数方程和不等式的解法，以及如何将这些知识应用于实际问题。通过这样的竞赛，学生可以提升数学思维和问题解决技巧。
