### 数值计算方法与算法 第二版 勘误表解析
#### 一、概述
《数值计算方法与算法》是一本系统介绍数值分析领域的教材，涵盖了多项数值计算技术及其应用。本书第二版由科学出版社出版，为了进一步提高书籍的质量与准确性，作者团队发布了一张详细的勘误表。这份勘误表主要纠正了书中的错误，并提供了正确的表述或公式，旨在帮助读者更好地理解和掌握数值计算的相关知识。
#### 二、勘误表详解
##### 29页第1行
**原文误写**:
原书中给出了一个关于Hermite插值的例子，但是在定义函数\(f(x)\)时出现了错误。原书中写道:
\[
f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
1 & x = 0 \\
-1 & x = 1/4 \\
-2 & x = 1/2 \\
-1 & x = 1
\end{array} \right.
\]
**正确表述**:
正确表述应该是:
\[
f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
-1 & x = 0 \\
4 & x = 1 \\
-2 & x = 1 \\
0 & x = 1
\end{array} \right.
\]
其中，\(f'(1) = 0\) 和 \(f'(1) = -4\) 分别表示在\(x=1\)处的导数值。
**知识点解释**:
- **Hermite插值**: 是一种特殊的插值方法，不仅考虑函数值本身，还考虑函数在某些节点的导数值。这使得插值结果更加精确，特别是在需要考虑函数变化趋势的应用场景中。
- **插值多**: 指的是通过给定点的数据来构建一个多项式，这个多项式能够通过所有的数据点。在Hermite插值中，这些数据点包括函数值和导数值。
##### 45页倒数第1行
**原文误写**:
在描述中心差分公式时，原书中的表达式写为:
\[
f'(x_0) \approx \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{2h}
\]
**正确表述**:
正确表述应为:
\[
f'(x_0) \approx \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - 2h)}{2h}
\]
**知识点解释**:
- **中心差分公式**: 用于近似计算函数的导数。这是一种二阶精度的方法，意味着误差与步长\(h\)的平方成正比。这种方法特别适用于当函数的精确导数难以计算时的情况。
##### 60页第13行
**原文误写**:
原书中关于步长的定义存在错误，原文写道:
\[
h_{k+1} = \frac{1}{2} (h_k - h_n)
\]
**正确表述**:
正确的表述应该是:
\[
h_{k+1} = \frac{1}{2} h_k
\]
**知识点解释**:
- **步长**: 在数值方法中，步长是指从一个计算点到下一个计算点的距离。在本例中，步长被递归地减半，这通常用于逐步细化计算网格或调整计算精度。
##### 104页倒数第6行
**原文误写**:
原书中在描述高斯消元法的步骤时出现错误，原文写道:
\[
\text{将第一行乘以} -\frac{a_{21}}{a_{11}} \text{加到第二行上；将第二行乘以} -\frac{a_{31}}{a_{11}} \text{加到第三行上；将第三行乘以} -\frac{a_{41}}{a_{11}} \text{加到第四行上。}
\]
**正确表述**:
正确的步骤应该是:
\[
\text{将第一行乘以} -\frac{a_{21}}{a_{11}} \text{加到第二行上；将第一行乘以} -\frac{a_{31}}{a_{11}} \text{加到第三行上；将第一行乘以} -\frac{a_{41}}{a_{11}} \text{加到第四行上。}
\]
**知识点解释**:
- **高斯消元法**: 这是一种解决线性方程组的基本方法。通过逐步消除方程组中的未知数，最终可以求得方程组的解。在这个过程中，需要保持方程组的等价变换，即不能改变方程组的解集。
##### 107页第8行
**原文误写**:
原书中关于高斯消元法的适用条件描述有误，原文写道:
\[
\text{元不改变} A \text{的主子式值，故Gauss可行的充分必要条件为} A \text{的各阶主子式不为零。}
\]
**正确表述**:
正确的表述应该是:
\[
\text{元不改变} A \text{的主子式值，故高斯消元法可行的充分必要条件为} A \text{的各阶顺序主子式不为零。}
\]
**知识点解释**:
- **顺序主子式**: 顺序主子式是指矩阵的左上角子矩阵的行列式。对于高斯消元法而言，确保每个顺序主子式都不为零是该方法可行的充分必要条件。这是因为如果某个顺序主子式为零，则无法通过该方法完成消元过程。
##### 125页第5行
**原文误写**:
原书中关于矩阵\(A\)的行列式的计算存在错误，原文写道:
\[
\text{det}A = -\frac{8}{10}
\]
**正确表述**:
正确的结果应该是:
\[
\text{det}A = -\frac{108}{192}
\]
**知识点解释**:
- **行列式**: 行列式是一个标量值，用于表示矩阵的一些特性，如可逆性。行列式的值也可以用来判断矩阵是否奇异（即行列式为零），这对于使用矩阵解线性方程组非常重要。
##### 192页第12行
**原文误写**:
原书中关于线性多步法的应用条件存在错误，原文写道:
\[
\text{取} p = q = 2
\]
**正确表述**:
正确的表述应该是:
\[
\text{取} p = q = 2
\]
并说明这是显式格式。
**知识点解释**:
- **线性多步法**: 是一种求解微分方程的方法，特别是在数值积分中非常有用。通过结合多个先前的时间步长信息，这种方法可以提供更准确的解。在此处，\(p\)和\(q\)分别表示方法的阶数和历史步数，表明这里使用了一个二阶显式方法。
《数值计算方法与算法》第二版的勘误表对书中存在的错误进行了修正，这些修正对于理解数值计算方法至关重要。通过对这些勘误内容的学习，读者能够更加深入地了解数值分析的核心概念和技术。
