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概率统计常见题型及方法总结 (2).docx
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常见大题:
1. 全概率公式和贝叶斯公式问题
A
B 看做“结果”,有多个“原因或者条件 ”可以导
i
致 B 这个“结果”发生,考虑结果 B 发生的概率,或
的概率问题
A
者求在 B 发生的条件下,源于某个原因
i
n
P B P A P B| A
全概率公式:
i
i
i1
n
P
P A P B
(A | B) P(A )P(B|A ) ( ) ( |A )
贝叶斯公式:
i
i
i
j
j
j1
a
b
一(12 分)今有四个口袋,它们是甲、乙、丙、丁,每个口袋中都装有 只红球和 只白球。
先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋,再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋,然后再从丙口袋
中任取一只球放入丁口袋,最后从丁口袋中任取一球,问取到红球的概率为多少?
B
i
i 1
个口袋红球,
i 1, 2,3, 4
表示从第 个口袋放入第
解
i
A
i
表示从第 个口袋中任取一个球为红球,
2 分
2 分
i
则
a
P(B )
,
1
a b
a 1
a
b
a
a
2 分
2 分
a b a b 1 a b a b 1 a b
依次类推
m
n
二(10 分)袋中装有 只正品硬币, 只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽),在袋中
任取一只,将它投掷r 次,已知每次都出现国徽,问这只硬币是次品的概率为多少?
、解 记 ={取到次品}, ={取到正品}, ={将硬币投掷 次每次
B
B
A
r
都出现国徽}
, P B
1
, ―—5分
n
m
则
,
P A B 1 P A B
P B
m n
m n
2
r
三、(10 分)一批产品共 100 件,其中有 4 件次品,其余皆为正品。现在每次从中任
取一件产品进行检验,检验后放回,连续检验 3 次,如果发现有次品,则认为这批产品不
合格。在检验时,一件正品被误判为次品的概率为,而一件次品被误判为正品的概率为。
(1)求任取一件产品被检验为正品的概率;(2)求这批产品被检验为合格品的概率。
解 设 A表示“任取一件产品被检验为正品”, B 表示“任取一件产品是正品”,
则
96 4
P B
, P A| B 0.95, P A| B 0.01
, P B
100
100
(1)由全概率公式得
(2)这批产品被检验为合格品的概率为
四、在电报通讯中不断发出信号‘0’和‘1’,统计资料表明,发出‘0’和‘1’的概率分
别为和,由于存在干扰,发出‘0’时,分别以概率和接收到‘0’和‘1’,以的概率收为模糊
x
x
信号‘ ’;发出‘1’时,分别以概率和收到‘1’和‘0’,以概率收到模糊信号‘ ’。
x
(1)求收到模糊信号‘ ’的概率;
x
(2)当收到模糊信号‘ ’时,以译成哪个信号为好?为什么?
解 设
A
=“发出信号 ”
i
(i
0
,1)
,
B
=“收到信号 ”
i
(i
0
,1,
x)
。由题意知
i
i
P(A ) 0.6
(A ) 0.4
( | ) 0.2
P B A
( | ) 0.1
P B A
P
,
,
,
。
0
1
x
0
x
1
(1)由全概率公式得
P(B ) P(B | A )P(A ) P(B | A )P(A )
4 分
2 分
x
x
0
0
x
1
1
0.20.6 0.10.4 0.16
。
(2)由贝叶斯公式得
P(B | A )P(A )
0.20.6
P(A | B )
0.75
,
0
0
3 分
3 分
x
P(B )
0.16
0
x
x
P(A | B ) 1 P(A | B ) 1 0.75 0.25
1
x
0
x
二、随机变量函数的分布及其边缘密度及其独立性的判断
记住如下知识点:
常见分布律和概率密度:
一般正态分布的计算转化为标准正态分布去做:
连续随机变量 X:
二维随机变量的分布函数:
联合密度:
掌握如下解决随机变量函数分布的解题方法:
对于二维随机变量函数的概率密度,注意:除了求随机变量
Z=X+Y 的密度函数用公式:
注意:
f (x,y)
先写出联合密度:
,根据联合密度写出
f (x,z x) f (z y, y)
或者
,
f (x,z x)
在平面 x0z 或者 y0z 上画出被积函数
不为零的区
域,然后穿线通过区域确定 x 的上下限。
他的函数 Z = g ( X , Y )的概率密度,只能使用分布函数法
其步骤如下:
f (x,y)
第一步 求联合密度:
,根据联合密度写出
f (x,z x) f (z y, y)
或者
第二步 求 z 的分布函数:
难点是画出二重积分的积分区域,然后把二重积分化为二次积分定上
下限,
画图:先画出被积函数也就是联合密度非零的区域,再确定区域
g(x, y) z
与密度非零区域的重合区域就是二重积分的积分区域,
穿线定积分限:然后左右穿或者上下穿个积分区域定内限,求出分布
函数
第三步 求密度函数: f (z) F (z)
Z
Z
分析:
, X , , X
X
X
1
2
n
,
1
2
n
X
的概率密度;
1, 0 x 1
解:
X ~ f (x)
0, 其它
而
1
2
n
f
z F z n F z
n1
n1
X
(n)
的概率密度为
(1)求常数A的值;(2)求X 与Y 的协方差Cov X
,Y
。
dy Ae dx A
,得
A
1
y
y
0
0
dy
y
(2)E X
0
0
0
三(16 分)设二维随机变量
(X,Y)
的概率密度为
f (x) f (y)
(1) 求边缘密度函数
(2) 求边缘分布函数
,
X
Y
F (x) F (y)
,
X
Y
(4) 求
P(X Y 1)
。
f
X
f (x, y)
X
=
x
X
x
, 0
e x
=
f
X
的边缘概率密度
Y
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