概率论与数理统计(经管类)公式.pdf
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概率论与数理统计是统计学和计算机科学(cs)等领域中的基础理论,它涉及随机现象的分析和概率模型的建立。以下是对标题和描述中提到的一些核心知识点的详细解释: **一、随机事件和概率** 1. **交换律**:两个事件A和B的顺序互换不会改变它们同时发生的概率,即P(AB) = P(BA)。 2. **结合律**:三个或更多事件同时发生的概率等于它们两两之间概率的乘积,即P(A ∩ B ∩ C) = P(A) * P(B|A) * P(C|A ∩ B)。 3. **分配律**:事件A发生条件下,事件B和C至少有一个发生的概率等于A发生条件下B发生的概率加上A发生条件下C发生的概率减去A发生条件下B和C都发生的概率,即P(B∪C|A) = P(B|A) + P(C|A) - P(BC|A)。 4. **德摩根律**:事件A和B的补集的并集等于A和B的并集的补集,即P(¬A ∪ ¬B) = 1 - P(A ∩ B)。 5. **概率的定义和计算公式**: - 求逆公式:P(A') = 1 - P(A)。 - 加法公式:如果事件A和B互斥,则P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。 - 条件概率公式:P(B|A) = P(AB) / P(A),其中A发生的条件下B发生的概率。 - 乘法公式:如果事件A和B独立,则P(AB) = P(A) * P(B)。 - 全概率公式:P(B) = Σ P(B|Ai) * P(Ai),其中Ai构成样本空间的完备事件集合。 - 贝叶斯公式(逆概率公式):P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B),用于在已知B发生的情况下更新A的概率。 - 伯努利概型公式:如果试验独立且只有两种可能结果(成功或失败),那么在n次试验中成功k次的概率为C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k),其中p是单次试验成功的概率。 **二、随机变量及其分布** 1. **分布函数**:离散型随机变量的分布函数是其取每个值的概率之和,连续型随机变量的分布函数是其概率密度函数在某个区间下的积分。 2. **离散型随机变量分布**: - 0-1分布:B(1, p),成功概率为p。 - 二项分布:B(n, p),n次独立重复试验中成功k次的概率。 - 泊松分布:P(λ),单位时间内的事件发生次数。 - 几何分布:G(p),首次成功需要的试验次数。 - 超几何分布:H(N, M, n),无放回抽样的样本中特定类别个体出现的次数。 3. **连续型随机变量分布**: - 均匀分布:U(a, b),在[a, b]区间内均匀分布的概率。 - 指数分布:E(λ),事件发生间隔的时间。 - 正态分布:N(μ, σ²),平均值为μ,方差为σ²的钟形分布。 - 标准正态分布:N(0, 1),μ=0,σ²=1的正态分布。 **三、多维随机变量及其分布** 1. **二维随机变量**:包括边缘分布和条件分布,以及它们的联合分布。 2. **边缘分布函数**:对于二维随机变量,边缘分布是将另一个变量固定后得到的单个变量的分布。 3. **边缘密度函数**:连续型随机变量的边缘密度函数是通过将联合密度函数在另一变量上积分得到的。 4. **条件分布**:给定一个变量的值,另一个变量的分布称为条件分布。 **四、随机变量的数字特征** 1. **数学期望**:衡量随机变量平均值的指标,对于离散型随机变量是各值乘以对应概率的和,对于连续型随机变量是概率密度函数与变量值乘积的积分。 2. **数学期望的性质**:包括线性性质和独立性性质。 3. **方差**:衡量随机变量波动程度的指标,等于期望值的平方与期望值的平方差。 4. **方差的性质**:包括方差的线性和独立性性质,以及与协方差的关系。 5. **协方差**:衡量两个随机变量共同变化的程度,若协方差为零,表示两个变量独立。 6. **相关系数**:衡量两个随机变量线性相关的强度,范围在-1到1之间,0表示不相关。 7. **常见数学分布的期望和方差**:对于给定的分布,如0-1分布、二项分布、泊松分布、几何分布、超几何分布、均匀分布、正态分布和指数分布,都有确定的期望和方差。 **五、大数定律和中心极限定理** 1. **切比雪夫不等式**:提供了一个关于随机变量偏离期望值的概率的上界。 2. **大数定律**:描述了独立同分布随机变量序列的平均值随着样本数量增加趋向于总体期望值的现象。 3. **中心极限定理**:独立同分布的随机变量序列的样本均值的分布,随着样本数量的增加趋于正态分布,即使原始分布不是正态的。 **六、数理统计** 1. **总体和样本**:总体是所有观察对象的集合,样本是从总体中抽取的一部分。 2. **统计量**:基于样本数据计算出的量,如样本均值、样本方差和样本标准差,用于估计总体参数。 以上是概率论与数理统计中的基本概念和公式,这些知识在数据分析、机器学习和计算机科学的许多领域中都至关重要。理解并掌握这些内容能够帮助我们更好地理解和预测随机现象,进行有效的统计推断。
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