正态分布，又称为高斯分布，是一种在统计学和概率论中极其重要的连续概率分布。它在数学和计算机科学领域扮演着核心角色，尤其是在数据分析、机器学习和信号处理等cs相关领域。正态分布有两个关键参数：数学期望（均值，μ）和方差（σ²），它们定义了分布的中心位置和宽度。
1. **正态分布的密度函数与分布函数**
正态分布的密度函数通常表示为f(x; μ, σ²)，其中x是随机变量，μ是分布的平均值，σ²是方差。分布函数F(x; μ, σ²)给出了x值以下的概率累积。当μ=0且σ²=1时，正态分布被称为标准正态分布。
2. **性质**
- 正态分布的密度函数是对称的，关于μ对称。
- 其积分等于1，确保它是一个概率密度函数。
- 在正态分布中，数据集中在μ附近，大约68%的数据位于μ±σ之间，95%位于μ±2σ内，99.7%位于μ±3σ内，这是著名的68-95-99.7规则。
3. **二元正态分布**
- 二元正态分布描述的是两个随机变量X和Y之间的联合分布，其边际分布仍然是正态分布。
- 当X和Y独立时，它们的相关系数r为0。
- 条件分布也是正态的，即给定Y的条件下，X的条件分布是正态的，反之亦然。
4. **矩**
对于标准正态分布，第一矩（均值）为0，第二矩（方差）为1。对于一般正态分布，均值μ和方差σ²可以改变分布的中心和宽度。
5. **特征函数**
- 特征函数是概率密度函数的傅立叶变换，对于n元正态分布，特征函数是确定的，并且可以用来推导出许多正态分布的性质。
- 多元正态分布的特征函数表明，任何子集的分布也服从正态分布，其均值和方差可以通过原始分布的参数计算得出。
6. **线性变换的不变性**
正态变量经过线性变换后仍保持正态性，这意味着正态分布非常适合描述线性关系的数据。
7. **独立性和相关性**
- 相互独立的正态随机变量必须两两不相关，即它们的协方差矩阵的非对角元素为0。
- 反之，如果一组正态随机变量的协方差矩阵对角化，那么它们是独立的。
8. **条件分布**
- 给定某些正态随机变量的值，其他变量的条件分布仍然是正态分布，其条件期望和方差可以通过贝叶斯公式计算。
9. **正交变换**
- 存在一个正交变换U，可以将正态分布转换为一组独立的正态分量，每个分量的期望是Ua，方差是B的特征值。
在实际应用中，正态分布被广泛用于假设检验、参数估计、预测分析和模拟实验中。了解正态分布的数学期望和方差对于理解和操作大量数据至关重要，特别是在计算机科学中的统计建模和数据分析任务中。
