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数字信号处理 习题解答 2005
1
第一章 习题
1.1 给定 f(t) = rect(t+2) + rect(t-2), 画出下列函数的图形。
(1) f(t)
(2) g(t) = f(t-1)
(3) h(t) = f(t)u(t)
(4) f(t/2)
解:
(1)
(
)
tf
(2)
(
)
(
)
1−= tftg
(3)
(
)
(
)
(
)
tutfth =
f(t)
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 t
g(t)
1
-2 -1 0 1 2 3 t
数字信号处理 习题解答 2005
2
(4)
(
)
2
t
f
1.2 设 f(t) 是某一函数,a, t
0
, T 为实常数,证明:
(1)
0
00
()()()()
t
ftaft
a
t
tt
δδ
−
=−
(2)
00
0
1
()()()()
ftatft
aaa
tt
t
δδ−=−
(3)
0
00
()()()()
n
t
ftcombTfnTtnT
T
t
tt
δ
∞
=−∞
−
==−−
∑
解:
(1)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0000
0
tttfatttfattatftf
a
tt
−=−=−=
−
δδδδ
h(t)
1
0 1 2 3 t
()
2
t
f
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 t
数字信号处理 习题解答 2005
3
(2)
(
)
(
)
(
)
(
)
()
()
()()
0
0
00
1
0
1
1
t
a
a
t
a
a
tt
aa
a
ftattftt
ftt
ft
δδ
δ
δ
−=−
=−
=−
(3)
()
()
()
()
()
()
()()
()() ()()
000
0
000
ttttttnT
TTT
nn
n
nn
ftcombftnft
TftttnT
TftttnTTftnTttnT
δδ
δ
δδ
∞∞
−−−−
=−∞=−∞
∞
=−∞
∞∞
=−∞=−∞
=−=
=−−
=−−=+−−
∑∑
∑
∑∑
1.3
(1) 如 f(t) F(Ω),证明:
eee
tjtyjtj
tfdyyFF
Ω−
∞
∞−
−Ω−Ω−
==∗Ω
∫
)(2)()(
)(
π
(2) 用 (a) 的结果,证明频域卷积定理
1212
1
()()()()
2
ftftFF
π
↔Ω∗Ω
证明:
(1)
()()
()
()
()()
2
jyt
jtjtjyt
jtjytjt
FeFyedyFyeedy
eFyedyfteπ
∞∞
−Ω−
−Ω−Ω
−∞−∞
∞
−Ω−Ω
−∞
Ω∗==
==
∫∫
∫
(2)
()()()() ()()
()()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()()
1
121212
2
1
122
1
12
2
1
12
2
1
21
2
1
212
1
2
2
jtjt
jt
jyt
jyt
jyt
Fftftftftedtfteftdt
Feftdt
Fyedyftdt
Fyeftdydt
ftedtFydy
FyFydy
F
π
π
π
π
π
π
π
π
+∞+∞
−Ω−Ω
−∞−∞
+∞
−Ω
−∞
+∞+∞
−Ω−
−∞−∞
+∞+∞
−Ω−
−∞−∞
+∞+∞
−Ω−
−∞−∞
+∞
−∞
==⋅
=Ω∗⋅
=⋅⋅
=⋅
=
=Ω−⋅
=
∫∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫
()()
12
FΩ∗Ω
数字信号处理 习题解答 2005
4
所以
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1222
1
ftftFF
π
↔Ω∗Ω
1.4 求下图中 f(t) 脉冲的傅氏变换。
解:
令
2
T
τ
=
,脉冲幅度为 1,截取 f(t) 的一个周期 f
0
(t)。
则 f
0
(t) 的傅立叶变换为:
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
4222
00
T
TT
SaSatfFF
ωωτ
ω ⋅=⋅==
得
(
)
(
)
1
1
2
11
0124
,
nT
nn
TT
FFSa
ω
π
ωω
ωω
=
===
所以
()()()
()
()
1
1
1
4
2
n
n
nT
n
FftFFn
San
ω
ωπδωω
πδωω
∞
=−∞
∞
=−∞
==−
=−
∑
∑
注:如果用 sinc 函数表示,结果:
()
(
)
()
∑
∞
−∞=
−=
n
Tn
ncF
1
4
1
sin ωωδπω
π
ω
1.5 证明
(1)
()()()
HHa
δ
Ω∗Ω=Ω−
(2)
00
()()()
nn
HnHnδ
∞∞
=−∞=−∞
Ω∗Ω+Ω=Ω+Ω
∑∑
证明:
(1)
左边
()()()()()
HdHdH
αδααδααα
∞∞
−∞−∞
=⋅Ω−=ΩΩ−=Ω−
∫∫
(2)
T/4
T
数字信号处理 习题解答 2005
5
()()
()()
()
00
0
0
()()
nn
n
n
HnHnd
Hnd
Hn
δτδττ
τδττ
∞∞
∞
−∞
=−∞=−∞
∞
∞
−∞
=−∞
∞
=−∞
Ω∗Ω+Ω=⋅Ω−+Ω
=Ω−+Ω
=Ω+Ω
∑∑
∫
∑
∫
∑
1.6 设
()
at
ft
e
−
=
,证明脉冲序列
()()
n
fnTtnT
δ
∞
=−∞
−
∑
的傅氏变换等于
2
2
1
12cos
aT
aTaT
e
eTe
−
−−
−
−Ω+
证明:
设
()()()
∑
∞
−∞=
−=
n
nTtnTftg δ
则:
()()()()
()()
()
()
()
0
1
01
01
2
1
11
1
1
jnT
nn
anT
jnTanTjnTanTjnT
nnn
anTjnTanTjnT
nn
nTajnTaj
nn
Taj
TajTaj
aT
FgtFfnTtnTfnTe
eeeeee
eeee
ee
e
ee
e
δ
∞∞
−Ω
=−∞=−∞
∞+∞
−
−Ω−Ω−−Ω
=−∞=−∞=
+∞+∞
−Ω−−Ω
==
+∞+∞
−−Ω−+Ω
==
−+Ω
−−Ω−+Ω
−
=−=
==+
=+
=+
=+
−−
−
=
∑∑
∑∑∑
∑∑
∑∑
2
2cos
aTaT
eTe
−−
−Ω+
1.7
(1) 证明
00
0
12
(),
jnT
nn
n
T
e
π
δ
∞∞
−Ω
=−∞=−∞
=Ω+ΩΩ=
Ω
∑∑
(2) 若 f(t) F(Ω),证明
0
()()
jnT
nn
TfnTFn
e
∞∞
−Ω
=−∞=−∞
=Ω+Ω
∑∑
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