### 编译原理课后题答案解析
#### 第二章
**题目背景：**
本章节主要探讨了形式语言与自动机理论中的基本概念，并通过具体的例子来解释如何进行语法分析和推导。以下是对几个典型习题的解答，旨在帮助读者深入理解编译原理中的关键知识点。
**P-36-6：**
1. **题目描述：** 给出一个文法 G，其 L(G) 是由 0~9 组成的数字串。要求给出该文法的最左推导和最右推导实例。
- **最左推导实例：**
\[
N \Rightarrow ND \Rightarrow NDD \Rightarrow NDDD \Rightarrow DDDD \Rightarrow 0DDD \Rightarrow 01DD \Rightarrow 012D \Rightarrow 0127
\]
\[
N \Rightarrow ND \Rightarrow DD \Rightarrow 3D \Rightarrow 34
\]
\[
N \Rightarrow ND \Rightarrow NDD \Rightarrow DDD \Rightarrow 5DD \Rightarrow 56D \Rightarrow 568
\]
- **最右推导实例：**
\[
N \Rightarrow ND \Rightarrow N7 \Rightarrow ND7 \Rightarrow N27 \Rightarrow ND27 \Rightarrow N127 \Rightarrow D127 \Rightarrow 0127
\]
\[
N \Rightarrow ND \Rightarrow N4 \Rightarrow D4 \Rightarrow 34
\]
\[
N \Rightarrow ND \Rightarrow N8 \Rightarrow ND8 \Rightarrow N68 \Rightarrow D68 \Rightarrow 568
\]
2. **知识点解析：**
- **最左推导：** 在每次推导过程中总是选择当前字符串中最左边的非终结符进行替换的过程称为最左推导。
- **最右推导：** 类似地，在每次推导过程中总是选择当前字符串中最右边的非终结符进行替换的过程称为最右推导。
- **数字串文法：** 这里给出的文法 G 描述了一个简单的数字串生成规则，其中 N 可以表示任意长度的数字串，而 D 表示单个数字。
**P-36-7：**
1. **题目描述：** 设计两个文法 G1 和 G2 来生成奇数或以奇数结尾的数字串。
- **G1 文法设计：**
\[
S \rightarrow P | AP \\
P \rightarrow 1 | 3 | 5 | 7 | 9 \\
A \rightarrow AD | N \\
N \rightarrow 2 | 4 | 6 | 8 | P \\
D \rightarrow 0 | N
\]
- **G2 文法设计：**
\[
S \rightarrow A B C | C \\
A \rightarrow 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 \\
B \rightarrow BA | B0 | \varepsilon \\
C \rightarrow 1 | 3 | 5 | 7 | 9
\]
2. **知识点解析：**
- **奇数结尾数字串生成：** G1 通过使用非终结符 A、P、N 和 D 的组合来生成奇数结尾的数字串。这里的关键在于确保数字串的最后一位是奇数。
- **文法规则设计：** G2 通过使用非终结符 A、B 和 C 来生成奇数结尾的数字串。其中，A 用来生成数字串的首位数字；B 用来添加中间可能的偶数；C 用来确保数字串以奇数结尾。
**P-36-8：**
1. **题目描述：** 给定文法 G(E)，要求给出其最左推导和最右推导实例，并构造相应的语法树。
- **文法 G(E) 设计：**
\[
E \rightarrow T | E + T | E - T \\
T \rightarrow F | T * F | T / F \\
F \rightarrow (E) | i
\]
- **最左推导实例：**
\[
E \Rightarrow E + T \Rightarrow T + T \Rightarrow F + T \Rightarrow i + T \Rightarrow i + T * F \Rightarrow i + F * F \Rightarrow i + i * F \Rightarrow i + i * i
\]
\[
E \Rightarrow T \Rightarrow T * F \Rightarrow F * F \Rightarrow i * F \Rightarrow i * (E) \Rightarrow i * (E + T) \Rightarrow i * (T + T) \Rightarrow i * (F + T) \Rightarrow i * (i + T) \Rightarrow i * (i + F) \Rightarrow i * (i + i)
\]
- **最右推导实例：**
\[
E \Rightarrow E + T \Rightarrow E + T * F \Rightarrow E + T * i \Rightarrow E + F * i \Rightarrow E + i * i \Rightarrow T + i * i \Rightarrow F + i * i \Rightarrow i + i * i
\]
\[
E \Rightarrow T \Rightarrow T * F \Rightarrow T * (E) \Rightarrow T * (E + T) \Rightarrow T * (E + F) \Rightarrow T * (E + i) \Rightarrow T * (T + i) \Rightarrow T * (F + i) \Rightarrow T * (i + i) \Rightarrow F * (i + i) \Rightarrow i * (i + i)
\]
- **语法树构造：**
\[
E
\]
\[
i + i + i
\]
\[
E
\]
\[
+
\]
\[
T
\]
\[
E
\]
\[
+
\]
\[
T
\]
\[
T
\]
\[
F
\]
\[
i
\]
\[
F
\]
\[
i
\]
\[
F
\]
\[
i
\]
\[
i + i * i
\]
\[
E
\]
\[
i - i - i
\]
\[
E
\]
\[
-
\]
\[
T
\]
\[
E
\]
\[
-
\]
\[
T
\]
\[
T
\]
\[
F
\]
\[
i
\]
\[
F
\]
\[
i
\]
\[
F
\]
\[
i
\]
2. **知识点解析：**
- **算术表达式文法设计：** 本题中的文法 G(E) 用于描述算术表达式的结构。通过使用非终结符 E、T 和 F 来构建表达式树，进而支持加减乘除等运算。
- **算术表达式推导：** 最左推导和最右推导展示了如何从文法的起始符号出发生成具体的算术表达式。每一步推导都是基于文法的生产规则来进行的。
- **语法树：** 语法树是一种直观展示表达式结构的图形化表示方法，它有助于理解表达式的层次结构和计算顺序。
**P-36-9：**
1. **题目描述：** 给定句子 "iiiei"，要求构造其语法树，并判断文法是否存在二义性。
- **语法树构造：**
\[
S
\]
\[
i
\]
\[
S
\]
\[
e
\]
\[
S
\]
\[
i
\]
\[
S
\]
\[
i
\]
\[
i
\]
\[
S
\]
\[
i
\]
\[
S
\]
\[
i
\]
\[
i
\]
\[
S
\]
\[
i
\]
\[
S
\]
\[
i
\]
\[
i
\]
2. **知识点解析：**
- **二义性：** 当一个句子具有多种不同的语法树时，我们称该文法为二义性的。例如，对于句子 "iiiei"，有两种不同的推导方式，即 \(S \Rightarrow iSeS \Rightarrow iSei \Rightarrow iiSei \Rightarrow iiiei\) 和 \(S \Rightarrow iS \Rightarrow iiSeS \Rightarrow iiSei \Rightarrow iiiei\)，这表明该文法是二义性的。
- **语法树的作用：** 语法树可以帮助我们直观地理解和展示句子的结构，尤其是在存在二义性的情况下。
**P-36-10：**
1. **题目描述：** 给出文法 G，要求判断其是否为上下文无关文法。
- **文法 G 设计：**
\[
S \rightarrow TS | T \\
T \rightarrow (S) | ()
\]
2. **知识点解析：**
- **上下文无关文法：** 本题中的文法 G 满足上下文无关文法的定义。在上下文无关文法中，每个产生式的左侧只能包含一个非终结符，右侧可以是终结符、非终结符或者它们的组合。文法 G 显然满足这一条件。
#### 第三章
**题目背景：**
本章节主要介绍了自动机理论的基本概念，并通过具体例子来讲解如何进行状态转移表的构造和简化。以下是对几个典型习题的解答，旨在帮助读者深入理解自动机理论中的关键知识点。
**P64-8：**
1. **题目描述：** 给出三个正则表达式，并要求构造相应的有限自动机状态图。
- **正则表达式：**
1. \( (0|1)^*101 \)
2. \( (1|2|3|4|5|6|7|8|9)(0|1|2|3|4|5|6|7|8|9)^*(0|5) | (0|5) \)
3. \( 0^*1(0|10^*1)^* | 1^*0(1|01^*0)^* \)
2. **知识点解析：**
- **有限自动机构造：** 通过给定的正则表达式，我们可以构造对应的有限自动机。有限自动机是一种用于识别正则语言的模型，它可以用来识别特定的字符串序列是否符合某个正则表达式的模式。
- **状态图：** 状态图是有限自动机的一种图形化表示方法，它通过节点（状态）和有向边（转换）来表示状态之间的关系以及输入符号的处理方式。
- **正则表达式：** 正则表达式是用来描述字符串集合的模式匹配工具，它可以用于文本搜索、数据验证等多种场景。在本题中，我们需要根据给定的正则表达式来设计相应的有限自动机。
**P84-12：**
1. **题目描述：** 给定两个非确定性有限自动机，要求构造其确定化版本并进一步进行状态的最小化。
- **非确定性有限自动机：**
- **自动机 (a)：**
\[
\begin{align*}
& a \\
0 & \rightarrow \{0\} \\
1 & \rightarrow \{0, 1\}
\end{align*}
\]
- **自动机 (b)：** 已经是确定性的，无需转换。
\[
\begin{align*}
& a \\
0 & \rightarrow \{0, 1, 2, 3\} \\
1 & \rightarrow \{1, 2, 4\}
\end{align*}
\]
2. **知识点解析：**
- **非确定性有限自动机到确定性有限自动机的转换：** 非确定性有限自动机允许从一个状态通过同一个输入符号转移到多个状态，而确定性有限自动机不允许这种行为。通过子集构造法，我们可以将非确定性有限自动机转换为等价的确定性有限自动机。
- **状态最小化：** 状态最小化是指通过等价类划分的方法来合并等价的状态，从而减少自动机的状态数量。这是一个重要的步骤，可以简化自动机的结构，使其更易于理解和实现。
通过以上解析，我们可以看到，编译原理课程中的习题涵盖了形式语言、自动机理论等多个方面，这些练习不仅有助于加深对编译原理基本概念的理解，还能培养解决实际问题的能力。
