高等数学 课件（同济大学第六版）

【高等数学】是数学学科中的核心课程之一，主要研究实数、函数、极限、微积分、多元函数等概念和理论。同济大学出版的第六版《高等数学》课件是学习这一领域的重要参考资料，尤其适合自学和考研复习使用。课件内容详细，讲解清晰，有助于理解和掌握高数的基本概念和技巧。 在高数中，【无穷小】是一个关键概念。它描述的是随着自变量的变化，函数值趋于零的量。例如，当我们讨论\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)，其中\(\sin(x)\)相对于\(x\)是无穷小。课件中提到了不同类型的无穷小，如\( \sin(3x) \)、\( \frac{1}{x^2} \)等，它们虽然都趋于零，但趋于零的速度各不相同。无穷小的比较可以帮助我们判断其阶数，例如，\( \frac{1}{x^2} \)是比\( \sin(3x) \)更高阶的无穷小，因为当\( x \to 0 \)时，\(\frac{1}{x^2}\)比\(\sin(3x)\)更快地趋近于零。 课件中还介绍了无穷小的几个关键性质： 1. **和差取大规则**：如果\(\beta = o(\alpha)\)，即\(\beta\)是\(\alpha\)的高阶无穷小，那么\(\alpha + \beta\)和\(\alpha - \beta\)也是\(\alpha\)的高阶无穷小。 2. **和差代替规则**：如果\(\alpha \sim \beta\)（表示\(\alpha\)与\(\beta\)等价无穷小），那么在极限运算中可以互相替换，比如\( \lim_{x \to 0} (\alpha + \beta) = \lim_{x \to 0} \alpha + \lim_{x \to 0} \beta \)。 3. **因式代替规则**：如果\((\phi(x))^n\)是有界的，并且\(\lim_{x \to a} \phi(x) = \phi(a)\)，那么\( \lim_{x \to a} (\phi(x))^n = (\phi(a))^n \)。 课件中还举了一些例子来验证这些规则，比如： - \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 3 \cdot 1 = 3 \)，这展示了因式代替规则的应用。 - \( \lim_{x \to 0} (\sin(x) - \tan(x)) = -\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{\cos(x)} = 0 \)，这是利用和差取大规则和和差代替规则的实例。 此外，课件还涉及了无穷小的阶数，比如二阶无穷小，指的是在\( x \to 0 \)时，函数相比于\( x^2 \)趋于零的速度更快，如\( \cos(x) - 1 \)相对于\( x^2 \)就是二阶无穷小。定理1和定理2讨论了无穷小的加法和乘法规则，以及它们如何影响极限的计算。 总结来说，高等数学中无穷小的概念是理解微积分和极限理论的基础。通过学习同济大学第六版的高等数学课件，学生可以深入理解这些基本概念，掌握计算和分析问题的技巧，为后续的数学学习和实际应用打下坚实基础。