基于Petri网的可达树与可达图的构造与算法实现

### 基于Petri网的可达树与可达图的构造与算法实现 #### 引言 Petri网由Carl Adam Petri博士于1962年提出，并随着时间的发展不断壮大和完善。作为一种强大的数学模型，Petri网能够精确地描述系统的信息传输与转换过程，并能有效地表达实际系统中的并发、冲突、异步等复杂现象。Petri网不仅描述了系统的静态特征（通过网结构），还刻画了系统的动态特征（通过初始标识和运行规则）。为了进一步分析Petri网的属性，研究人员引入了可达树和可达图等工具。 #### Petri网及相关概念 **定义1.1 (Petri网):** 一个五元组PN(P,T,F,W,M0)被称为Petri网。其中： - P = {p1, p2, ..., pm} 是有限的位置集合； - T = {t1, t2, ..., tn} 是有限的变迁集合； - F ⊆ (P × T) ∪ (T × P) 表示有向弧集合，用来表示节点之间的流关系； - W : F → {1, 2, 3, ...} 是弧的权重函数； - M0 : P → {0, 1, 2, ...} 是初始标识函数，表示每个位置的初始标记数量。 此外，P ∩ T = ∅ 表示位置集和变迁集互不相交；P ∪ T ≠ ∅ 表示二者至少有一个非空。 **定义1.2 (前置集, 后置集):** - 对于任何x ∈ P ∪ T，前置集 ·x = {y | y ∈ P ∪ T ∧ (y, x) ∈ F} 表示所有指向x的节点集合； - 后置集 x· = {y | y ∈ P ∪ T ∧ (x, y) ∈ F} 表示所有从x出发的节点集合。 **定义1.3 (点火规则):** 对于任何位置p ∈ P，如果M(p) = k，则表示位置p上有k个标记。对于变迁t ∈ T，在标识M下： - 变迁t是使能的（M[t >），当且仅当对于所有的p ∈ ·t，M(p) ≥ w(p,t)，其中w(p,t)是从位置p到变迁t的弧的权重； - 如果t是使能的，则t可以点火，从而从M转变到新的标识M'，记作 M[t > M'，其中： - M'(p) = M(p) + w(p,t)，如果p ∈ t· - ·t； - M'(p) = M(p) - w(p,t)，如果p ∈ ·t - t·； - M'(p) = M(p)，其他情况下。 **定义1.4 (死标识Dead Marking):** 一个标识M ∈ M0[>]是死标识，如果不存在任何变迁t ∈ T使得M[t >，即在这个标识下没有任何变迁可以点火。 #### 可达树的构造及其算法 **可达树的构造:** Petri网的可达标识集R(C, u0)可能是无限的，因此构造一个完全反映所有可达标识的可达树通常是不可能的。然而，可以通过以下步骤构建一个有限的可达树： 1. **初始化:** 将初始标识M0添加到可达树中。 2. **扩展:** 对于可达树中的每个标识M，找出所有使能的变迁t，并根据点火规则计算新的标识M'。将M'添加到可达树中，如果M'尚未出现在可达树中。 3. **终止条件:** 当没有新的标识可以添加时，结束构造过程。 **算法实现:** 可达树的构造可以通过递归或迭代的方式实现。一个简单的算法如下： - 初始化一个空的可达树T。 - 添加初始标识M0到T。 - 遍历T中的每个标识M，并检查每个变迁t是否使能。 - 如果t使能，则计算新的标识M'并检查M'是否已经在T中。 - 如果不在，则将M'添加到T中，并继续扩展。 - 重复上述过程直到没有更多的标识可以添加。 #### 可达图的概念与算法 **可达图的构造:** 可达图相较于可达树更为复杂，但提供了更全面的分析视角。可达图允许重复标识出现，并通过环路来表示周期行为。可达图的构造遵循类似的原则，但在处理重复标识时有所不同。构造可达图的主要步骤包括： 1. **初始化:** 创建一个包含初始标识的空图G。 2. **扩展:** 对于图G中的每个标识M，找到所有使能的变迁t，并计算新的标识M'。 3. **添加边:** 如果M'已经存在于G中，则在M和M'之间添加一条边；否则，将M'添加到G中，并在M和M'之间添加一条边。 4. **终止条件:** 当没有新的标识可以添加或所有的标识都已经相互连接时，停止扩展过程。 通过可达树和可达图的构建，可以有效地分析Petri网的多个关键属性，例如有界性、安全性、守恒性、可达性、覆盖性、死锁和活性等。这些工具在系统设计和验证过程中发挥了至关重要的作用。