场论初步 习 题 答案 共10页-

根据给定的习题及其解答，我们可以总结出与场论相关的几个关键知识点： ### 场论基础概念 **场论**是一种研究空间中各点处物理量分布的理论。在物理学和工程学中，通常会涉及到标量场和向量场。 - **标量场**：是指空间每一点上有一个数值的分布，比如温度、密度等。 - **向量场**：是指空间每一点上有一个向量的分布，比如风速、电流密度等。 ### 标量场的梯度（Grad） 标量场 \( f(x, y, z) \) 在某点的梯度表示该点处函数值变化最快的方向和变化率，数学上定义为： \[ \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} i + \frac{\partial f}{\partial y} j + \frac{\partial f}{\partial z} k \] ### 向量场的散度（Div） 向量场 \( \mathbf{A}(x, y, z) \) 的散度描述的是单位体积内向量场源的强弱，定义为： \[ \text{div}\ \mathbf{A} = \nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} \] ### 习题解析 #### 习题14.5 场论初步 **题目1：** 对于给定的数量场 \( f(x, y, z) \)，计算其梯度和散度。 1. **解法**： - 梯度计算：通过分别对 \( x, y, z \) 求偏导数来得到梯度。 - 散度计算：首先确定向量场 \( \mathbf{a} \)，然后计算每个分量的偏导数之和。 例如，对于 \( f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1/2 \)，有： \[ \nabla f = (2x)i + (2y)j + (2z)k \] \[ \text{div}\ \mathbf{a} = 2 + 2 + 2 - \left( 15 - 20 + 3 \right) = 6 - (-2) = 8 \] 2. **解析**：对于其他给定的标量场 \( f(x, y, z) \)，同样可以按照上述方法计算梯度和散度。 #### 习题2 **题目2：** 求向量场穿过球面 \( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \) 在第一卦限部分的通量。 **解法**： - 将球面在第一卦限部分表示为 \( \Sigma : x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0 \)。 - 计算通量 \( \Phi \)：\(\Phi = \int_\Sigma \mathbf{a} \cdot d\mathbf{S}\)。 - 利用球坐标系进行积分计算。 - 结果为 \( \Phi = \frac{8}{3}\pi \)。 #### 习题3 **题目3：** 设 \( \mathbf{r} = xi + yj + zk \)，\( r = |\mathbf{r}| \)。 1. **求满足** \(\text{div}(f(r)\mathbf{r}) = 0\) 的函数 \( f(r) \)。 - 通过计算得到 \( \text{div}(f(r)\mathbf{r}) \) 的表达式。 - 解方程 \( \text{div}(f(r)\mathbf{r}) = 0 \)，得到 \( f(r) = \frac{c}{r^3} \)。 2. **求满足** \(\text{div}[\text{grad} f(r)] = 0\) 的函数 \( f(r) \)。 - 计算 \( \text{div}[\text{grad} f(r)] \)。 - 解方程 \( \text{div}[\text{grad} f(r)] = 0 \)，得到 \( f(r) = c_1 + \frac{c_2}{r} \)。 #### 习题4 **题目4：** 计算 \( \mathbf{c} \cdot [\ln(r) \mathbf{c} + \mathbf{c}/r^2] \)，其中 \( \mathbf{c} \) 是常矢量，\( \mathbf{r} = xi + yj + zk \)，且 \( \mathbf{c} \cdot \mathbf{r} > 0 \)。 **解法**： - 设 \( \mathbf{c} = c_1 i + c_2 j + c_3 k \)。 - 代入计算得到最终结果为 \( u = \mathbf{c} \cdot [\ln(r) \mathbf{c} + \mathbf{c}/r^2] \) 的具体表达式。 通过这些习题的解答，我们不仅学习了场论的基本概念，如梯度、散度等，还掌握了如何解决实际问题的方法，这对于深入理解场论以及在物理和工程中的应用至关重要。