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微分和差分方程.pdf

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微分和差分方程微分和差分方程是数学建模的基础知识，广泛应用于各个领域，如物理、工程、经济学等。本资源摘要信息将对微分和差分方程进行详细的介绍，并提供了 MATLAB 实现的示例。代数方程求解代数方程是指以多项式的形式表示的方程。MATLAB 提供了多种方法来求解代数方程，包括 roots 函数和 fzero 函数。 * roots 函数：roots 函数可以求解多项式的所有根。例如，多项式 32672270sss，可以使用以下命令求解：`p = [1 -6 -72 -27]; r = roots(p)` * fzero 函数：fzero 函数可以求解一元函数的根。例如，函数 3( )25f xxx，可以使用以下命令求解：`f = @(x)x.^3-2*x-5; z = fzero(f,2)` 非线性方程组非线性方程组是指多个非线性方程组成的系统。MATLAB 提供了 fsolve 函数来求解非线性方程组。 * fsolve 函数：fsolve 函数可以求解非线性方程组。例如，函数 F = [2*x(1) - x(2) - exp(-x(1)); -x(1) + 2*x(2) - exp(-x(2))]，可以使用以下命令求解：`x0 = [-5; -5]; options=optimset('Display','iter'); [x,fval] = fsolve(@myfun,x0,options)` 符号方程符号方程是指以符号形式表示的方程。MATLAB 提供了 solve 函数来求解符号方程。 * solve 函数：solve 函数可以求解符号方程。例如，方程 x^2 + 3x - 2 = 0，可以使用以下命令求解：`solve('x^2 + 3*x - 2 = 0')` 小技巧 * 快捷注释与注释消除键：在 MATLAB 中，可以使用快捷键 Ctrl+R 来注释选定的语句，然后使用 Ctrl+T 来消除注释。参考函数 * poly：多项式函数 * residue：剩余函数 * fminbnd：最小化函数 * optimset：优化设置函数 * function_handle：函数句柄函数 * Anonymous Functions：匿名函数

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2014 届合肥工业大学数学建模培训资料

内部使用，请勿外泄——王刚

Part 6

——

微分和差分方程

这次教程有点多，望大家耐心看哦！

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第一章几类方程求解

1.1 代数方程求解

下面主要介绍几类常用的方程求根方法。

（1）多项式——roots

调用示例：

r = roots(p)

其中，p 为多项式的系数，从高次到低次顺序，r 为对应的多个根。

如多项式：

3 2

6 72 27 0s s s   

，求解程序如下：

>> p = [1 -6 -72 -27];

>> r = roots(p)

r =

12.1229

-5.7345

-0.3884

注意：通过其它函数也可以多项式的根，但是不能求出所有的根，而 roots

可以求出多项式所有的根。下面将会看到。

参考函数：poly, residue

（2）一元函数——fzero

调用示例：

x = fzero(fun,x0)

x = fzero(fun,x0,options)

[x,fval] = fzero(...)

其中，fun 为待求函数的名称，

为初始值，

为解，

fval

为最优解对应的

值（对于求根来说，理想情况下为 0）。

如：

( ) 2 5f x x x  

，求根程序如下：

f = @(x)x.^3-2*x-5;

z = fzero(f,2)

再看看（1）中的示例，程序

f = @(x)x.^3-6*x.^2-72*x-27;

z1 = fzero(f,10)

z2 = fzero(f,-4)

z3 = fzero(f,0)

很容易发现，对于不同的初始值，最后的根也不一样，最后的结果分别为：

12.1229 、-5.7345 、-0.3884，而这三个分别为（1）中 roots 得到的解。实际上 fzero

函数的实现方式是以某个初始点来迭代得到方程解的，因为初始值的选取对最终

结果影响很大。下面说到的牛顿迭代之类的算法也是类似情况，对初始值的选取

很敏感，而智能算法对初始值的选取并不敏感。

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注意：f = @(x)...是匿名函数的表达方式，即该函数没有名字，但是通

过@来指定变量，或者待求变量。

参考函数：fminbnd, optimset, function_handle (@), Anonymous

Functions

小技巧：快捷注释与注释消除键，选取待注释语句，然后 ctrl+R 为注释，

ctrl+T 为消除注释。

（3）非线性方程组——fsolve

调用示例：

x = fsolve(fun,x0)

x = fsolve(fun,x0,options)

[x,fval] = fsolve(fun,x0)

其中，fun 为函数名，x0 为初始值，options 为参数设置（迭代算法、步长、

精度等），x 为最优解，fval 为最优解对应的最优值。

示例如下：

x0 = [-5; -5]; % 随机初始值

options=optimset('Display','iter'); % 显示每次迭代的过程

[x,fval] = fsolve(@myfun,x0,options) % 调用优化函数

其中，

myfun 如下：

function F = myfun(x)

F = [2*x(1) - x(2) - exp(-x(1));

-x(1) + 2*x(2) - exp(-x(2))];

迭代过程：

最后的解为：

x =

0.5671

fval =

1.0e-006 *

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-0.4059

注意：该函数求解性能很强，大家可以随意设置初始值

x0 看看结果如何，理

论上结果是不变的，也就是该函数使用的迭代算法对初始值不敏感。

（4）符号方程——solve

调用示例：

solve(eq)

solve(eq,var)

solve(eq1,eq2,...,eqn)

g = solve(eq1,eq2,...,eqn,var1,var2,...,varn)

其中，eq 为待求解的符号方程，默认的求解符号是 x；通过 var 设置带求解

的符号变量；求解符号方程组的话，需要依次添加每个方程，以及带求解的所有

符号变量。g 是存放结果的结构体变量，通过 g.x 调用显示结果。

示例如下：

%% 求解 a*x^2 + b*x + c = 0 关于x的符号解

solve('a*x^2 + b*x + c')

%% 求解 a*x^2 + b*x + c = 0 关于b的符号解

solve('a*x^2 + b*x + c','b')

%% 求解方程组 x + y = 1，x - 11*y = 5 的所有符号解

S = solve('x + y = 1','x - 11*y = 5');

S.x, S.y

%% 求解方程组 a*u^2 + v^2，u - v = 1, a^2 - 5*a + 6 = 0 的所有符号解

A = solve('a*u^2 + v^2', 'u - v = 1', 'a^2 - 5*a + 6')

A.a, A.u, A.v

结果就不写出来了，大家测试下就好了。

注意：像这样

a*x^2 + b*x + c

的写法代表方程

a*x^2 + b*x + c = 0，

所以

u - v = 1

也可以写成

u - v - 1

哦，不妨测试下。

（5）牛顿迭代法解非线性方程

牛顿迭代算法原理比较简单，大家可以参考 Lagrange 定理推导。

求解示例如下：

%% 使用默认精度1e-6

x=newton('myfun',[1;2], 10)

%% 设置精度

x=newton('myfun',[1;2], 50, 0.0000001)

其中 newton 函数如下：

function x = newton(funname, x0, Maxgen, tol)

% 作用: 通过牛顿迭代算法求解非线性方程组

% 调用方式： x = newton('f_name',x0)

% x = newton('f_name',x0,tol)

% x: 最优解

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% funname: 定义方程组的函数名

% x0: 初始值

% Maxgen: 最大迭代次数

% tol: 精度(默认:1e-6)

h = 0.0001;

M = Maxgen; % 最大迭代次数

if nargin < 4

tol = 1e-6;

end

x = x0;

xb = x - 999;

n = 0;

while abs(x-xb) > tol

xb = x;

if n > M

break;

end

y = feval(funname, x);

fprintf(' n=%3.0f, x=%12.5e, y=%12.5e, ' ,n,x,y)

y_driv = (feval(funname,x+h)-y)/h;

x = xb-y./y_driv;

n= n+1;

end

fprintf(' n=%3.0f, x=%12.5e, y=%12.5e, ',n,x,y)

if n > M

fprintf('' );

disp('Warning: iterations exceeds the limitation, probable

devergent');

end

注意：通过调节最大迭代次数很容易发现，一般在 10 次左右就可以达到最

优解，或者近似最优解；而通过加大迭代次数或者精度也很难获取更有解。因而

牛顿迭代可以通过很少的迭代次数获取较优解。

（6）遗传算法

这里讨论的遗传算法是基于 matlab 自带工具箱的，后面讲详细介绍 GA 算

法的实现过程。

工具箱调用示例：

x = ga(fitnessfcn,nvars)

x = ga(fitnessfcn,nvars,A,b)

x = ga(fitnessfcn,nvars,A,b,Aeq,beq)

x = ga(fitnessfcn,nvars,A,b,Aeq,beq,LB,UB)

x = ga(fitnessfcn,nvars,A,b,Aeq,beq,LB,UB,nonlcon)

x = ga(fitnessfcn,nvars,A,b,Aeq,beq,LB,UB,nonlcon,options)

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