背包九讲（经典）

### 背包九讲（经典） #### 01背包问题 **题目**: 给定N件物品，每件物品有对应的重量Ci和价值Wi，以及一个容量为V的背包。目标是在不超过背包容量的前提下，使得背包内的物品总价值最大化。 **基本思路**: 在解决01背包问题时，首先定义子问题的状态：`F[i,v]`表示前i件物品放入容量为v的背包中可以获得的最大价值。状态转移方程如下： \[ F[i,v] = \max\{F[i-1,v], F[i-1,v-C_i] + W_i\} \] 这里的转移方程意味着，对于第i件物品有两种选择：不放入背包，此时最大价值为`F[i-1,v]`；或者放入背包，此时最大价值为`F[i-1,v-C_i] + W_i`，即前i-1件物品放在剩余容量为`v-C_i`的背包中的最大价值加上第i件物品的价值`W_i`。 **优化空间复杂度**: 上述方法的时间复杂度为O(NV)，空间复杂度也为O(NV)。为了减少空间开销，可以进一步优化至O(V)的空间复杂度。具体做法是利用一个一维数组来存储当前的状态值，并且在更新过程中采取从大到小的顺序更新，以确保在更新某个状态时能够正确获取到所需的状态值。优化后的伪代码如下： ```plaintext F[0..V] = 0 for i = 1 to N for v = V downto C[i] F[v] = max(F[v], F[v-C[i]] + W[i]) ``` 这里的关键在于更新时从V向下遍历到`C[i]`，保证了在更新`F[v]`时，`F[v-C[i]]`存储的是上一层的状态值。 **初始化的细节问题**: 在实际编写代码时需要注意初始状态的设定，例如`F[0..V]`全部初始化为0，表示背包为空时的价值为0。这样的初始化对于后续的状态转移至关重要。 **一个常数优化**: 在实现过程中，还可以进行一些常数级别的优化，比如提前终止循环条件等。 **小结**: 01背包问题是背包问题中最基础的一种，理解它的状态转移方程是学习其他类型背包问题的基础。同时，掌握空间优化技巧也是非常重要的。 #### 完全背包问题 **题目**: 完全背包问题与01背包问题类似，不同之处在于每种物品可以无限次地选取。 **基本思路**: 对于完全背包问题，同样定义子问题的状态为`F[i,v]`，表示前i种物品放入容量为v的背包可以获得的最大价值。但是由于物品可以无限次选取，状态转移方程变为： \[ F[i,v] = \max\{F[i-1,v], F[i,v-C_i] + W_i\} \] **一个简单有效的优化**: 在实际应用中，可以通过预先处理的方式减少计算量。例如，可以先用01背包的方法处理每种物品选取一次的情况，然后再使用完全背包的算法处理剩余情况，这样可以有效地减少重复计算。 **转化为01背包问题求解**: 完全背包问题也可以转换成01背包问题求解。方法是为每种物品构造出多个不同的重量和价值组合，然后使用01背包的算法求解。 **O(VN)的算法**: 除了上述的优化方法外，还有一种更直接的O(VN)算法来解决完全背包问题。这种算法的核心思想是遍历所有可能的物品数量，然后计算每种情况下所能达到的最大价值。 **小结**: 完全背包问题与01背包问题相比，主要区别在于物品可以无限次选取。理解和掌握两种背包问题之间的转换关系，对于解决实际问题非常有帮助。 #### 多重背包问题 **题目**: 多重背包问题是指每种物品都有一个数量限制Ci，目标仍然是使得背包内物品总价值最大化。 **基本算法**: 在解决多重背包问题时，可以采用与01背包问题类似的思路，但是需要额外考虑每种物品的数量限制。状态转移方程为： \[ F[i,v] = \max\{F[i-1,v], F[i,v-C_i \times j] + W_i \times j\} \] 其中j为第i种物品的数量。 **转化为01背包问题**: 多重背包问题也可以转化为01背包问题来求解。具体做法是将每种物品的数量分解为几个01背包问题，然后使用01背包的算法分别求解，最后合并结果。 **O(VN)的算法**: 对于多重背包问题，同样存在O(VN)的算法。这种算法的关键在于如何高效地处理数量限制的影响。 **小结**: 多重背包问题的解决方法与01背包问题相似，但需要额外考虑物品数量限制这一因素。通过转化为01背包问题，可以更加高效地解决问题。 --- 通过以上对01背包问题、完全背包问题和多重背包问题的详细介绍，我们可以看出，尽管这些问题是基于同一基本概念的不同变体，但它们之间存在着密切的联系。理解每种问题的基本思想和状态转移方程，对于解决实际问题具有重要意义。此外，掌握空间优化和算法优化技术，可以帮助我们在实际应用中提高效率。