有关x与ex,lnx的组合函数专题.pdf

"有关x与ex,lnx的组合函数专题" 本资源总结了有关x与ex,lnx的组合函数的知识点，涵盖了四种类型的函数：构造函数、分离参数、巧拆函数和借助函数。每种类型的函数都有多个例题和练习题，旨在帮助学习者掌握x与ex,lnx的组合函数的相关概念和计算方法。 类型一：构造函数 构造函数是指将x与ex,lnx组合成新的函数。例如，函数f(x)＝ax－lnx(a∈R)，其定义域为(0，＋∞)。为了使函数f(x)≥0，我们需要求出a的取值范围。 例1: 已知函数f(x)＝ax－lnx(a∈R)。若f(x)≥0，求a的取值范围。 解: 由f(x)≥0，得ax－lnx≥0，即ax≥lnx。由于x∈(0，＋∞)，因此a≥1/x。 类型二：分离参数 分离参数是指将x与ex,lnx组合成新的函数，并对其进行参数分离。例如，函数f(x)＝lnx，g(x)＝exx，我们可以讨论f(x)＋mx与g(x)＝exx的图象关系。 例2: 已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝exx。是否存在实数m，使得对任意的x∈[1，＋∞)，都有y＝f(x)＋mx的图象在g(x)＝exx的图象下方？ 解: 若存在实数m，使得y＝f(x)＋mx的图象在g(x)＝exx的图象下方，则f(x)＋mx≤g(x)，即lnx＋mx≤exx。由于x∈[1，＋∞)，因此m≤e。 类型三：巧拆函数 巧拆函数是指将x与ex,lnx组合成新的函数，并对其进行巧拆。例如，函数f(x)＝ax^2－xlnx，我们可以讨论f(x)的单调性。 例3: 已知函数f(x)＝ax^2－xlnx。(1) 若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2) 若a＝e，证明：当x>0时，f(x)<xex＋1e。 解: (1) 由f'(x)＝2ax－lnx，我们可以讨论f'(x)的符号。由于f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因此f'(x)≥0，即2ax－lnx≥0。解得a≥1/2x。 (2) 若a＝e，证明：当x>0时，f(x)<xex＋1e。由f(x)＝ax^2－xlnx=a(e^x－xlnx)，我们可以讨论f(x)的上界。易知，当x>0时，f(x)<xex＋1e。 类型四：借助函数 借助函数是指将x与ex,lnx组合成新的函数，并对其进行借助计算。例如，函数f(x)＝x－1－alnx，我们可以讨论f(x)≥0时的a的取值范围。 例4: 已知函数f(x)＝x－1－alnx。(1) 若f(x)≥0，求a的值；(2) 设m为整数，且对于任意正整数n，1＋1^2＋1^3·⋯＋1^n<m，求m的最小值。 解: (1) 由f(x)≥0，得x－1－alnx≥0，即alnx≤x－1。由于x∈(0，＋∞)，因此a≤1/e。 (2) 设m为整数，且对于任意正整数n，1＋1^2＋1^3·⋯＋1^n<m。易知，m≥2。