高数AB练习册答案详解习题1202(1).pdf
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高等数学(高数)是大学数学的基础课程,它包含了微积分、级数、极限等核心概念。在本练习册的习题12-2(1)中,主要涉及了正项级数的审敛法,包括比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。 1. 比较审敛法: - 此方法通过比较给定级数与已知收敛或发散的级数来判断其收敛性。例如,对于级数(1) 1/4^n + 3/n^2,由于3/n^2比1/n^2大,而1/n^2是调和级数,是发散的,但1/4^n收敛,所以整个级数也收敛。 - 对于级数(2) 1/(1+ln^n p),当p=1时,级数变为1/(1+ln^n),由于ln^n p随着n的增长趋于无穷,级数发散;当0<p<1时,1/(1+ln^n p)趋于0,级数收敛。 - 级数(3) 1/(1-a^n),当a=1时,级数发散;当a>1时,级数收敛。 2. 比值审敛法: - 这种方法利用级数项的连续极限来判断。例如,对于级数(1) 1/(n!)^2,其比值为(n+1)!/(n!)^2 = n+1/n^2,极限为0,所以级数收敛。 - 级数(2) 1/tan(2^n),因为lim_{n->∞} tan(2^n)/tan(2^(n+1)) = lim_{n->∞} 1/(2*tan(2^n)) = 0,所以级数收敛。 3. 根值审敛法: - 该方法基于级数各项的n次根的极限来确定级数的收敛性。例如,对于级数(1) 1/(3^n * n),其n次根为1/(3^(1/n) * n^(1/n)),极限为0,因此级数收敛。 - 对于级数(2) 1/(b^n - a^n),当b>a时,其n次根的极限为1/(b^(1/n) - a^(1/n)),因此级数的收敛性取决于b/a的值。 4. 其他审敛法应用: - 例如,级数2cos(3/2^n)的收敛性可以通过比较审敛法中的极限比较法判断,因为cos(3/2^n)的绝对值小于1,与级数1/n²相比,1/n²收敛,所以原级数也收敛。 5. 积分判别法: - 该方法适用于函数的黎曼积分。若1≤fn≤fn+1,并且fn在[1, ∞)上单调递减且连续,那么级数1/fn与1/(fn)在[1, ∞)上的积分有相同的收敛性。例如,(1)证明部分,利用积分判别法证明了1/n^a与1/(∫[1, n] f(x) dx)的收敛性一致。 - 对于级数2/(ln^n p),其收敛性可以通过积分判别法中的比较法讨论。当1<p时,2/(ln^n p)的积分趋近于0,因此级数收敛;当p<1时,积分发散,级数也发散。 以上是对高数AB练习册习题1202(1)中涉及的正项级数审敛法的详细解释,这些方法是判断级数收敛性的重要工具,在实际问题中具有广泛应用。
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