高数AB练习册答案详解习题1202(1).pdf

高等数学（高数）是大学数学的基础课程，它包含了微积分、级数、极限等核心概念。在本练习册的习题12-2(1)中，主要涉及了正项级数的审敛法，包括比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。 1. 比较审敛法： - 此方法通过比较给定级数与已知收敛或发散的级数来判断其收敛性。例如，对于级数(1) 1/4^n + 3/n^2，由于3/n^2比1/n^2大，而1/n^2是调和级数，是发散的，但1/4^n收敛，所以整个级数也收敛。 - 对于级数(2) 1/(1+ln^n p)，当p=1时，级数变为1/(1+ln^n)，由于ln^n p随着n的增长趋于无穷，级数发散；当0<p<1时，1/(1+ln^n p)趋于0，级数收敛。 - 级数(3) 1/(1-a^n)，当a=1时，级数发散；当a>1时，级数收敛。 2. 比值审敛法： - 这种方法利用级数项的连续极限来判断。例如，对于级数(1) 1/(n!)^2，其比值为(n+1)!/(n!)^2 = n+1/n^2，极限为0，所以级数收敛。 - 级数(2) 1/tan(2^n)，因为lim_{n->∞} tan(2^n)/tan(2^(n+1)) = lim_{n->∞} 1/(2*tan(2^n)) = 0，所以级数收敛。 3. 根值审敛法： - 该方法基于级数各项的n次根的极限来确定级数的收敛性。例如，对于级数(1) 1/(3^n * n)，其n次根为1/(3^(1/n) * n^(1/n))，极限为0，因此级数收敛。 - 对于级数(2) 1/(b^n - a^n)，当b>a时，其n次根的极限为1/(b^(1/n) - a^(1/n))，因此级数的收敛性取决于b/a的值。 4. 其他审敛法应用： - 例如，级数2cos(3/2^n)的收敛性可以通过比较审敛法中的极限比较法判断，因为cos(3/2^n)的绝对值小于1，与级数1/n²相比，1/n²收敛，所以原级数也收敛。 5. 积分判别法： - 该方法适用于函数的黎曼积分。若1≤fn≤fn+1，并且fn在[1, ∞)上单调递减且连续，那么级数1/fn与1/(fn)在[1, ∞)上的积分有相同的收敛性。例如，(1)证明部分，利用积分判别法证明了1/n^a与1/(∫[1, n] f(x) dx)的收敛性一致。 - 对于级数2/(ln^n p)，其收敛性可以通过积分判别法中的比较法讨论。当1<p时，2/(ln^n p)的积分趋近于0，因此级数收敛；当p<1时，积分发散，级数也发散。 以上是对高数AB练习册习题1202(1)中涉及的正项级数审敛法的详细解释，这些方法是判断级数收敛性的重要工具，在实际问题中具有广泛应用。