PID 参数整定公式推导及PID 参数整定步骤分享
PID（Proportional-Integral-Derivative）控制器是工业控制系统中广泛使用的一种控制算法。PID 控制器的性能取决于三个参数：比例系数 KP、积分时间 Ti 和微分时间 Td。为了获得最佳的控制性能，需要对 PID 参数进行整定。本文将推导 PID 参数整定公式，并描述 PID 参数整定步骤。
PID 参数整定公式推导：
设单输入单输出离散系统方程为：
A(Z-1)r(k) = B(Z-1)Z-dU(k) + N(k)
其中，r(k) 和 U(k) 分别为被控系统输出和输入量，N(k) 为扰动量。
PID 调节器方程为：
U(t) = Kp[e(t) + 1/Ti ∫e(t)dt + Td.de(t)/dt]
离散化后，PID 调节器方程变为：
U(k) = Kp[e(k) + Ts/Ti e(k) + Td/Ts.(e(k)-e(k-1))]
性能指标 J 为：
J = E[e²(k+d) + q. Δe²(k+d) + λ. ΔU²(k)]
其中，d 为纯延时，e(k+d) 为时刻 k 的预报控制误差，q 和 λ 为加权系数。
控制预报误差模型为：
e(k+d) + w(k+d) - w(k) = f0e(k) + f1e(k-1) + … + g0U(k) + g1U(k-1) + … + h0w(k) + h1w(k-1) + …
其中，w(k) 为参考输入信号，为扰动信号；fi, gi, hi 为待辩常数。
PID 控制算式为：
U(k) = U(k-1) + P0e(k) + P1e(k-1) + P2e(k-2)
将 ΔU(k)，Δe(k+d)，e(k+d) 代入性能指标式，得到：
U(k) = U(k-1) - [(1+q)g0f0e(k) / [(1+q)g0² + λ] - [(1+q)g0f1-g0qf0e(k-1) / [(1+q)g0² + λ] - [(1+q)g0f2-qg0f1e(k-2) / [(1+q)g0² + λ] + …
比较上式与 PID 控制算式，得到：
P0 = -[(1+q)g0f0 / [(1+q)g0² + λ]
P1 = -[(1+q)g0f1-g0qf0 / [(1+q)g0² + λ]
P2 = -[(1+q)g0f2-qg0f1 / [(1+q)g0² + λ]
g0, f2, f1, f0 为待辩常数。
PID 参数整定步骤：
(1) 测量输出 y(k)；
(2) 利用在线参数估计方程：e(k+d) = ΦT(k)θ(k) + θ(k) = [f0, f1, …, g0, g1, …]T ΦT(k) = [e(k), e(k-1), …, U(k), U(k-1), …]T
(3) 用递推最小二乘法估计θ(k)；
(4) 由上式计算 P0, P1, P2；
(5) 由上式计算 KP, Ti, Td。
本文推导了 PID 参数整定公式，并描述了 PID 参数整定步骤。通过对 PID 参数的整定，可以获得最佳的控制性能。
VIP享7折，此内容立减5.97元 
