数学建模_优化问题_图与网络

数学建模_优化问题_图与网络 图论是数学的一个重要分支，研究图形结构和图论模型的应用。图论的历史可以追溯到18世纪，瑞士数学家欧拉于1736年发表了第一篇图论论文“哥尼斯堡的七座桥”。自那以后，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、运筹学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。 图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。 哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来，问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的方法。他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。 图与网络是运筹学（Operations Research）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。下面将要讨论的最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等都是图与网络的基本问题。 我们首先通过一些例子来了解网络优化问题。例如，货柜车司机需要在最短的时间内将货物从甲地运往乙地，需要找到一条从甲地到乙地的最短路。又例如，某一地区有若干个主要城市，需要修建高速公路把这些城市连接起来，使得从其中的任何一个城市都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市，需要决定在哪些城市间修建高速公路，使得总成本最小。 这些问题都有两个共同的特点：一是它们的目的都是从若干可能的安排或方案中寻求某种意义下的最优安排或方案，数学上把这种问题称为最优化或优化（optimization）问题；二是它们都易于用图形的形式直观地描述和表达，数学上把这种与图相关的结构称为网络（network）。与图和网络相关的最优化问题就是网络最优化或称网络优化（netwok optimization）问题。 网络优化问题的研究历史悠久，通常称之为旅行商问题。例如，一名推销员准备前往若干城市推销产品，需要设计一条最短的旅行路线（从驻地出发，经过每个城市恰好一次，最后返回驻地）。又例如，一名邮递员负责投递某个街区的邮件，需要设计一条最短的投递路线（从邮局出发，经过投递区内每条街道至少一次，最后返回邮局）。 图与网络优化问题的应用非常广泛，例如，在交通运输领域，需要设计一条最短的旅行路线；在生产计划领域，需要安排生产计划，使得总成本最小；在资源分配领域，需要分配资源，使得总效益最大。这些问题都可以用图论和网络优化的方法来解决。 图论和网络优化是数学和运筹学中的两个重要分支，研究图形结构和图论模型的应用，并解决网络优化问题。这些问题的研究历史悠久，应用广泛，例如，交通运输、生产计划、资源分配等领域。