2017 年“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛
第二阶段
A 题 安全的后视镜
汽车后视镜的视野对行车安全非常重要。一般来说，汽车的后视镜需要有
良好的视野范围，以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况。同时，后视
镜也要使图像的畸变尽可能小，以使驾驶员能够准确地判断距离。
如果汽车的后视镜使用平面镜，图像没有畸变，对距离的判断十分准确。
但是当镜面大小受限时，视野相对较小。如果使用凸面镜，可以以较小的镜面
获得更加宽广的视野，但是图像存在畸变，很难准确判断镜中物体与自己的
距离。有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成，意图兼顾两者的优点。
但事实上，驾驶员在观察后视镜时，两者很难同时看清。较受欢迎的做法是构
造一个变曲率的后视镜，使后视镜可以兼顾两者的优点，也降低了观察和距
离判断上的难度。目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜。最常见的是一
种双曲率后视镜，内侧接近平面镜，外侧则是一个凸面镜，在它们之间进行了
平滑的过渡。图 1 是两个例子，为了便于驾驶员对距离进行判断，镜中由虚线
或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线。它们的具体设计有所区别，性
能也会有所不同。
第一阶段问题： 对典型的小型家用轿车而言，共有三面后视镜，左右车门的
外侧各装一面外后视镜，车内正中还有一面内后视镜。假设两面外后视镜都
设计成如图 1 所示的双曲率后视镜，请你建立相应的数学模型，对外后视镜
给出优化的设计方案，包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置。并以一
种现有的轿车为例 (可自选)，给出具体的计算结果，镜面的边缘轮廓可以沿
用现有的设计。由于我们只做理论上的研究，所以在设计时暂不需要考虑和
遵循相应的国家标准。
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