数学中国网络挑战赛（认证杯）-2017挑战赛赛题-A2.pdf资源-CSDN文库

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2017 年“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛

第二阶段

A 题安全的后视镜

汽车后视镜的视野对行车安全非常重要。一般来说，汽车的后视镜需要有

良好的视野范围，以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况。同时，后视

镜也要使图像的畸变尽可能小，以使驾驶员能够准确地判断距离。

如果汽车的后视镜使用平面镜，图像没有畸变，对距离的判断十分准确。

但是当镜面大小受限时，视野相对较小。如果使用凸面镜，可以以较小的镜面

获得更加宽广的视野，但是图像存在畸变，很难准确判断镜中物体与自己的

距离。有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成，意图兼顾两者的优点。

但事实上，驾驶员在观察后视镜时，两者很难同时看清。较受欢迎的做法是构

造一个变曲率的后视镜，使后视镜可以兼顾两者的优点，也降低了观察和距

离判断上的难度。目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜。最常见的是一

种双曲率后视镜，内侧接近平面镜，外侧则是一个凸面镜，在它们之间进行了

平滑的过渡。图 1 是两个例子，为了便于驾驶员对距离进行判断，镜中由虚线

或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线。它们的具体设计有所区别，性

能也会有所不同。

第一阶段问题：对典型的小型家用轿车而言，共有三面后视镜，左右车门的

外侧各装一面外后视镜，车内正中还有一面内后视镜。假设两面外后视镜都

设计成如图 1 所示的双曲率后视镜，请你建立相应的数学模型，对外后视镜

给出优化的设计方案，包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置。并以一

种现有的轿车为例 (可自选)，给出具体的计算结果，镜面的边缘轮廓可以沿

用现有的设计。由于我们只做理论上的研究，所以在设计时暂不需要考虑和

遵循相应的国家标准。

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