2010年全国研究生数学建模竞赛优秀论文选-10407002.pdf_2010年全国研究生数学建模大赛优秀范文资源-CSDN文库

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国

第

七

届

研

究

生

数

学

建

模

竞

赛

题目重物落水后运动过程的动力学分析

摘要：

当发生溃坝溃堤时，很难在短时间内将溃口彻底封堵，通过投放重物对尚存的坝体产生一定的保护作

用，可以延缓溃坝过程，为人民群众的撤离争取更多的时间。本文建立了模型用于计算溃坝封堵时重物的

抛投方式，以使重物达到溃坝口，减少无效投放。

本文采用动力学的方法，对物块在流场中的运动进行了受力分析，主要考虑了重力、浮力、拖曳力、

上举力对物体速度和加速度的影响，其中摩擦力、附加阻力和其他流场力都修正在拖曳力和上举力的阻力

系数中。通过动力学微分方程和边界条件分别得到物体静止进入水中和运动进入水中的物体运动轨迹方程。

根据小型试验的四组数据，拟合了各种形状参数下的轨迹方程系数。对于复杂形状，通过工程中常用的体

积等效和截面等效的方法获得当量直径，将物块等效为球形，并且引入了空心率的概念用于表征物块形状

参数对流场中受力的影响。拟合试验数据得到了决定轨迹方程系数的拖曳力系数

和

与空心率



关

系。用当量直径和空心率将复杂形状物块简化成球体，使计算方便，使可以推广到各种形状的块石和沙包

中。

本文所述动力学模型，与小型试验结果吻合效果比较好，拟合相关系数接近于 1。当实际溃坝流场进行

重力相似准则转化后，可以通过本模型进行抛投物块的运动轨迹预测，使封堵用的重物落水后能够沉底到、

并保持在预想的位置，尽可能减少无效投放，具有准确、经费省、风险小、时间短、易重复、条件可以改

变等优点。

对于溃口封堵的真实流场，可以采用重力相似准则转化为模型适用的小型流场情况，通过相似的缩尺

比例得到投放重物的水平距离。利用模型计算，得知对于洪水流速分别为

4 /v m s



和

5 /v m s



，水

深分别为 3m 和4m 时，在离水面 2m 投放重达1t 的重物进行溃口封堵时，应该分别提前0.93086m和2.1534m

投放重物。

关键词封堵溃口动力学模型阻力系数空心率小型试验相似定律

参赛队号 10407002

队员姓名游森勇、刘源、吴谭

中山大学承办

参赛密码

（由组委会填写）

1．问题的提出

我国经常发生洪水，溃坝溃堤进而引发泥石流灾害造成国家和人民生命财产的严重损失。

溃口水流的流量和速度会比较大，在通常情况下很难在短时间之内将溃口彻底封堵，但如果

通过投放重物对尚存的坝体产生一定的保护作用，目前常利用直升飞机投放堵口组件，封住

溃坝缺口。但是投入溃口的重物落水后受到溃口水流的作用会向下游漂移。为了使封堵用的

重物落水后能够沉底到、并保持在预想的位置，尽可能减少无效投放，必须掌握重物落水后

的运动过程，在预定沉底位置的上游一定距离投放达到一定体积和重量的重物。

理论分析和小型试验获取相关数据的方法广泛用于研究溃口封堵中，在此基础上，根据

水力学已经有的方法进行推广，在获得成功并掌握重物在水中运动的规律后才能够最终应用

于实际抢险行动。因此，理论分析并建立数学模型研究不同形状重物在溃坝洪水中的运动规

律是具有经费省、时间短、易重复、易推广的优点，具有重大的实际价值。本文将针对几种

重物形状、四种不同速度的稳定水流、在三种不同的高度多次重复进行的小型试验进行数学

建模分析，分析重物在水中的运动规律。

2. 模型假设及主要变量符号说明

2.1 假设

（1）水流流场等效于无界的均匀剪切流场，重物落水后，不影响流场的整体特性

（2）理想无粘性流体理论适用于小型试验分析

（3）作用于重物上的水流速度，用垂线平均流速代替

（4）真实溃坝流场与模型水槽的均匀流场满足运动相似

2.2 符号说明

——为水流流速方向拖曳力；

——为水深方向上举力；

——为有效重力；

——为水平截面等效面积；

——为竖直方向截面等效面积；

——为流场垂线平均流速；

——为物体的水流方向速度；

——为物体水深方向下沉速度；



——为空心率；



——为边界层厚度；



——为水的密度；



——为物体的密度；

——为重物入水时的水平方向初速度；



——为物体入水时的垂直方向初速度。

3. 模型的建立

在运动的水中抛投重物，重物在下沉过程中受水流的阻力与冲击力的影响，在下落的同

时将出现漂移。根据流体力学知识，水流拖曳力的影响因素主要有：流体的流速

u ，流体的

密度，流体的动力粘滞系数



，边界层厚度



，水深

，物体所处深度

，物体几何尺寸包

括宽度

、高度

、顺水流方向上长度

等。对于空心的物体还得考虑空心率



，对于有一

定角度倾斜的物体，还得考虑倾斜角



。由流体动力力学的知识可以得到，物体在水流中的

受力包括三类

[1][2]

：

(a). 第一类是与流体与块体的相对运动无关的力，有惯性力、重力和压差力等；

(b). 第二类是依赖于流体与物体间相对运动的力，其方向沿着相对运动方向，有拖曳力，

附加质量力，Basset 力，摩擦力等；

(c). 第三类是依赖于流体与物体间相对运动的力，其方向垂直于相对运动方向，有上举

力、Magnus 力和 Saffman 力等。

图 1 物体质心受力图

对于本文的试验和真实溃坝堵截时的流场特性，溃坝时雷诺数

比较大，暂不考虑

Basset 力，Magnus 力和 Saffman 力的影响，在不考虑稳定性的情况下，忽略造成物体翻转的

摩擦力影响。主要考虑压差力（浮力）、重力和水流方向拖曳力

，水深方向上的上举力

的影响，物体在水中的受力图见图 1。

图中物体在水中所受有效重力为

(指有效重力，重力和浮力的合力)、水深方向上举力

为

和水流方向拖曳力为

。根据流体力学，块体在粘性流体中运动或者流体绕过静止块

体时，块体表面将产生表面力

。一般来说，作用在单位表面积上的微分力

可分解为垂

直和平行于该单元表面的压应力和切应力。合力

也可以分解成平行和垂直于运动方向上的

分力，平行于运动方向上的力为拖曳力

，垂直于运动方向上的分力为上举力

，也就是

说拖曳力和上举力本质上是切应力和压应力的影响。在研究空心块体的实验中块体垂直水流

方向，也就是说拖曳力是由前后两面的压强阻力与四周的摩擦阻力构成即

1 2

cos sin

D P f

A A

F F F p dA dA

  

    

 

其中

包括块体前后面积，

包括块体四周侧面积，



对

值为



，对

迎水流面

为

180

，背水流面为

0

为上述各种因素的函数，工程上一般根据量纲分析的方法结合实际试验值予以给

( , , , , , , , , , , )

F f U H h L a b

    



（1）

根据 Evett 等人总结有计算公式

[3][4]

D D P 0

C A )

F u u



 （

（2）

而上举力

D h

f C

 



（3）

对于球形物体

D D 0

C )

F u u



 

d（

（4）

D L

f w





（5）

有效重力

gVmgP





，其中





（6）

上述公式中，

为流动方向阻力系数，即拖曳力系数；

为下沉方向阻力系数，即上

举力系数；

为物体的质量；

重力加速度；



为水的密度；



为物体的密度；

u 为作用

于物体处，流场的水流速度；

为物体的水流方向速度；

为物体水深方向下沉速度；

为

水平截面等效面积；

为竖直方向截面等效面积；

为物体的体积。

根据动力学原理，对物体列出力的平衡关系式有：

向：

F m



（7）

向：

P f m



 

（8）

将

、

的表达式（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）代入（7）、（8），有

 

( ) 2( )

2 2

P D

g g

h L h L

g g g h L

A Cdu

u u

dt V

A C A C

dt V V A C



   

  



   



 





 

 



  

 



 



（9）

令

P D

A C









其量纲为

1 m

，

2( )

h L

A C

 









其量纲为

m s

，

h L

A C









其量纲为

1 m

，

则有方程：

 

1 0

2 2

3 2

u u





  



 







 





（10）

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