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二元函数插值及其程序设计设计大学论文.doc
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二元函数插值及其程序设计设计大学论文.doc
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1
目 录
摘要................................................................2
关键词..............................................................2
1 前言 ..............................................................2
1.1 二元函数插值及其发展过程.....................................2
1.2 本文所要达到的目的...........................................3
2 二元函数插值 ......................................................3
2.1 一元 Lagrange 插值的构造方法.................................3
2.2 二元函数插值的基本思想.......................................4
2.3 二元函数插值的几种方法.......................................5
2.3.1 分片双一次插值 .........................................5
2.3.2 分片不完全双二次插值 ...................................7
2.3.3 矩形域上分片双三次埃尔米特插值 .........................9
2.4 二元函数插值程序设计........................................11
2.4.1MATLAB 中插值描述及程序设计............................11
3 总述 .............................................................15
致谢...............................................................16
参考文献...........................................................16
英文摘要...........................................................17
2
二元函数插值及其程序设计
摘要 本篇文章主要对二元函数插值进行了叙述。针对一元函数插值思想主要是拉格朗日
插值,我们将其中构造基函数的方法推广到二元函数,讨论了二元函数的插值问题。其中,
主要讨论矩形区域上的插值、分片低次插值,将矩形域上分片插值问题分作分片双一次插值,
分片不完全的双二次插值。并且针对插值做了 MATLAB 的程序设计,简单分析了插值问题的
解决办法。
关键词 二元函数插值;拉格朗日;MATLAB;分片双一次插值;分片不完全双二次插值;
矩形区域;
1 前言
1.1 二元函数插值及其发展过程
二元函数插值在生活中有着广泛的应用。例如在计算几何与计算辅助几何设
计中有着重要的作用。在许多实际问题及科学研究中,因素之间往往存在着函数
关系,然而这种关系很难有明显的解析表达式,通常只是由观察或测试得到一些
离散数值。有时,即使给出了解析表达式,却由于表达式过于复杂,不仅使用不
便,而且不易于进行计算和理论分析。从几何角度来说,就是要由给定的这组数
据点去描绘曲线的近似图形。解决这类问题的方法有两种:插值法和曲线拟合法。
二元逼近是一元函数逼近理论的发展,是在逼近工具和被逼近对象方面的二元推
广。由于现代科学技术的发展的需要,二元函数逼近理论的研究日益受到数学、
计算机数学、物理及工程等领域的专家和科学工作者的重视,已成为当今逼近理
论和计算数学的研究热点之一。
在许多实际问题中需要建立模拟曲面,例如飞机、汽车、轮船和雕塑零件的
外形设计以及一些描述科学现象的曲面的拟合等等。在这些外形设计和曲面拟合
中经常应用局部多元插值方法。多元插值是一个活跃的研究领域,至今,已有相
当多的多元插值公式,并且还在与日俱增。在这里,我们主要讨论二元插值公式。
插值公式的产生和发展是由实际问题决定的,因此它们各有特色,但是应该说可
供应用的公式还很少。基于矩阵网格上的矩形曲面片是容易理解的,因此得到使
用者们欢迎。只要有可能,大家尽量用矩形曲面片。当然,在应用矩形曲面片时,
需要注意相容性条件。一般来说,曲面是很复杂的,仅通过数值表示是难于想象
的,因此需要作图或实际的三维模型。
3
1.2 本文所要达到的目的
本文的目的是将一元函数插值思想如拉格朗日插值中构造基函数的方法推
广到二元函数,讨论二元函数的插值问题。主要讨论矩形区域上的插值、分片低
次插值等。
2 二元函数插值
2.1 一元 Lagrange 插值的构造方法
我们首先来看在一元函数中的Lagrange插值多项式,对给定了插值点来求如
式
� �
n
nn
xaxaax ���� �
10
�
的插值多项式的方法有多种。当节点是n+1时,可以
先构造函数
� �� �
nixl
i
,,1,0 ��
,它们的次数不超过n,且满足
� �
0�
ji
xl
当
ij �
时,
或者
� �
1�
ji
xl
当j=i时,此为(2.1.1)
然后以对应点处的函数值为系数作线性组合,即得所要求的插值多项式。下
面推导
� �� �
nixl
i
,1,0 ��
的表达式。
由式(2.1.1),多项式
� �
xl
i
�有 n 个根
� �
niix
j
,,1,,1,1,0 �� ��
�,且
� �
1�xl
i
,
故它必定是如下形式
� �
� � � �� � � �
� � � �� � � �
� �
ni
xx
xx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xl
n
ij
j
ji
j
niiiiii
nii
i
,,1,0
0
110
110
�
��
��
�
�
�
�
����
����
�
�
�
�
��
��
(2.1.2)
这些函数称为 Lagrange 插值基函数。利用它们立即得出插值问题的解
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
�� �
n
ij
j
ji
j
n
i
ii
n
i
in
xx
xx
yxlyx
0
00
�
(2.1.3)
事实上,因为每个插值 基函数 li �x��i ��0,1,L, n�� 都是 n 次多项 式。由式
(2.1.1)又得
� � � � � �
nkyxlyx
kki
n
i
ikn
,,1,0
0
����
�
�
�
即
� �
kn
x
�
�满足插值条件
� � � �
niyx
ii
,,1,0 ���
�
。式(2.1.3)称为 n 次 Lagrange
插值多项式。为了以后便于区别,常用
� � � �
xlyxL
i
n
i
in
�
�
�
0
由前面讨论可得结论, n ��1 个节点的 n 次 Lagrange 插值多项式存在唯一。
4
2.2 二元函数插值的基本思想
二元函数分片光滑逼近是随着电子计算机的广泛应用而活跃起来的一个研
究领域,在应用上也很重要。这类问题一般提法是,给定了被逼近曲面或函数 u ��u
�x, y ��,或者是给定了 u(x,y)的一组离散的近似值
� �
iiij
yxuu ,�
,要求构造一个
比较简单的函数 U(x,y)去逼近 u(x,y)或离散值
ij
u
。若
� � � �� �
ijjiji
uyxuyxU 或,, �
,
则称为插值逼近或简称插值;通常由于
ij
u
总有观测误差 , 因 此 并 不 要 求
� �
ijji
uyxU �,
,只要近似满足就行,近似通过给定点的曲面逼近法,我们称为曲
面拟合法。我们主要介绍曲面插值法。
逼近二元函数最简单的函数类,自然是二元多项式。但实际问题往往给定的
点
� �
ijji
uyx ,,
很多,如果用一个整片多项式去逼近,则必然使得多项式次数很高,
效果并不好。因此类似于一元函数的分段多项式逼近或样条函数逼近,这里就采
用分片二元多项式逼近,并使不同曲面片之间光滑地联接起来。这种分片逼近的
方法应十分值得注意。
例如,在用有限元方法解弹性力学问题或其它数学物理问题时,首先要对定
解区域Ω 进行几何剖分,也就是将Ω 划分成一定的网格(或称单元)。当Ω 是
二维区域时,最基本的单元是三角形和四边形,也可以是曲边三角形和曲边四边
形。区域剖分后紧接着的问题是在这些小单元上选取一近似函数U(x, y)去代替
数学物理问题中的解u(x, y),如果选取U(x, y)使它与u(x, y)在小单元的某些点
的值相等,那么U(x, y)就称为u(x, y)在小单元上的插值函数。
由于计算机辅助几何设计的发展,又提出了另一类的曲面逼近问题。美国的
康斯提出了描述曲面的一种数学方法。一张曲面可以用若干个小的曲面片拼起来,
适当选择曲面片的方程,使它联接起来保持一定的光滑性;换句话说,康斯曲面
是由它的边界条件决定的,这又是另一类的插值问题。
插值函数类的选择,最简单的方法是二元双 k 次式,即选择函数类 G:
ji
k
j
k
i
ij
yxa
� �
� �0 0
(2.2.1)
为插值函数。
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