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### LDA公式详解 #### 一、预备知识 在深入探讨LDA（线性判别分析）之前，有必要先理解一些基本概念。 ##### 瑞利熵与广义瑞利熵 **瑞利熵**是一种衡量矩阵特征值分布的方法。对于一个厄米特矩阵\( A \)，如果它是实矩阵，则其瑞利熵可以表示为： \[ R(A, X) = \frac{X^TAX}{X^TX} \] 其中\( X \)是向量，而\( A \)的特征值最大值记为\( \lambda_{max} \)，最小值记为\( \lambda_{min} \)。当\( A \)为实矩阵时，瑞利熵\( R(A, X) \)的最大值为\( \lambda_{max} \)，最小值为\( \lambda_{min} \)。 **广义瑞利熵**则是在两个矩阵\( A \)和\( B \)之间定义的，形式为： \[ R(A, B, X) = \frac{X^TAX}{X^TBX} \] 通过令\( X' = BX \)，可以将广义瑞利熵转化为普通瑞利熵的形式。因此，广义瑞利熵\( R(A, B, X') \)的最大值为\( (B^{-1}A) \)的最大特征值，最小值为\( (B^{-1}A) \)的最小特征值。 #### 二、二分类LDA LDA的主要思想是最大化类间距离的同时最小化类内距离，以实现最优的分类效果。 假设数据集为\( \{(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n)\} \)，其中\( x_i \)是特征向量，\( y_i \)是类别标签。我们关注于二分类问题。 1. **定义符号**: - \( n_j \)表示第\( j \)类样本的数量； - \( S_j \)表示第\( j \)类样本的集合； - \( \mu_j \)表示第\( j \)类样本的均值； - \( \Sigma_j \)表示第\( j \)类样本的协方差矩阵（通常不除以样本数量）。 2. **类内距离与类间距离**: - **类内距离**定义为样本到其所属类别的均值的距离之和，可以表示为类内散度矩阵\( W \)； - **类间距离**定义为不同类别均值之间的距离，可以表示为类间散度矩阵\( B \)。 3. **目标函数**: 目标函数是最大化类间散度矩阵\( B \)与类内散度矩阵\( W \)比值的迹： \[ J(w) = \frac{w^TBw}{w^TWw} \] 其中，\( w \)是投影向量。这个目标函数实际上就是广义瑞利熵的形式。 4. **求解过程**: 要求解\( w \)，可以通过求解广义瑞利熵的最大特征值所对应的特征向量来实现。对于二分类问题，\( w \)可以简化为与\( \mu_1 - \mu_2 \)平行的向量，即可以设\( w = c(\mu_1 - \mu_2) \)，然后代入目标函数中求解\( c \)。 #### 三、核函数多分类LDA 对于多分类问题，LDA的推导更为复杂，通常会引入核函数来处理非线性可分的情况。 1. **核函数定义**: 设核函数为\( k(x, x') \)，它可以将原始空间中的数据映射到更高维的空间，从而在该空间中使数据变得线性可分。 2. **类间与类内散度矩阵**: 类间散度矩阵\( B \)和类内散度矩阵\( W \)的计算方法与二分类情况类似，但在多分类场景下需要考虑所有类别间的差异。 3. **目标函数**: 对于多分类问题，同样地，我们的目标是最大化类间散度矩阵\( B \)与类内散度矩阵\( W \)比值的迹，即求解： \[ J(W) = \frac{\text{tr}(W^TBW)}{\text{tr}(W^TWW)} \] 其中\( W \)是投影矩阵，\( B \)和\( W \)分别是类间散度矩阵和类内散度矩阵。 4. **求解过程**: 在多分类情况下，由于涉及到更高维度的数据，我们通常需要基于核矩阵\( K \)来构建\( B \)和\( W \)。利用核技巧，我们可以避免直接计算高维空间中的矩阵运算，而是仅使用低维空间中的核函数值。最终的目标是找到一个投影矩阵\( W \)，使得新的特征向量能够更好地分离各个类别。 #### 四、总结 本文详细介绍了LDA的基本原理及其数学推导过程。从瑞利熵到广义瑞利熵的概念出发，逐步深入到二分类LDA和核函数多分类LDA的公式推导。这些理论不仅适用于理论研究，也广泛应用于实际应用中，如文本分类、图像识别等领域。通过对LDA的理解，可以帮助我们在实际项目中选择合适的模型，并根据实际情况调整参数，以达到最佳分类效果。