反比例函数是初中数学中的重要概念,它与正比例函数相对,表示两个变量之间成反比关系,即一个变量的值增大时,另一个变量的值减小,它们的乘积保持不变。反比例函数通常用形式 \( y = \frac{k}{x} \) 表示,其中 \( k \) 是常数,\( x \neq 0 \),\( y \neq 0 \)。
1. 反比例函数的图像位于第一、三象限或第二、四象限。如果常数 \( k > 0 \),图像位于第一、三象限;如果 \( k < 0 \),则位于第二、四象限。因此,正确答案是 B.第一、三象限。
2. 如果 \( y \) 与 \( x \) 成反比,\( z \) 与 \( y \) 成正比,那么 \( z \) 与 \( x \) 的关系无法仅由这些信息确定。不过,由于 \( y \) 与 \( x \) 成反比,我们可以设 \( y = \frac{k_1}{x} \),而 \( z \) 与 \( y \) 成正比意味着 \( z = k_2y \),所以 \( z = k_2 \cdot \frac{k_1}{x} \)。这表明 \( z \) 与 \( x \) 成反比,但因为没有给出具体的 \( k_1 \) 和 \( k_2 \),所以无法判断是正比例还是反比例函数。正确答案是 D.不能确定。
3. 矩形的面积是长和宽的乘积,所以如果面积是 6cm²,长与宽的乘积也是 6。反比例函数的图像表示的是两个变量的乘积为常数的函数,因此,长与宽之间是反比例关系。因为长与宽都是正数,所以它们的图像会位于第一象限,这是一个双曲线的一部分。题目没有提供具体图形,但可以推测长与宽的关系图像会是双曲线的一部分。
4. 当气球内的气压 \( P \) 与体积 \( V \) 成反比时,根据图像,当 \( P > 120 \) kPa 时,气球会爆炸。要确保安全,应使气压小于 120 kPa,即 \( P < 120 \) kPa,对应的体积 \( V \) 应该大于某个值。题目没有给出这个值,但选项中没有具体数值,所以无法直接确定答案。然而,根据反比例关系,当 \( P \) 减小时,\( V \) 必须增大。
5. 这个题目考察了反比例函数图象上的点的性质。在反比例函数图象上,任何两边之积是常数,所以 \( AB \cdot OB = CD \cdot OD \)。因此,两个直角三角形的面积相等,即 \( S1 = S2 \),正确答案是 C.S1=S2。
6. 题目中提到一次函数 \( y=-2x+m \) 和反比例函数 \( y=\frac{k}{x} \) 都经过点 A(-2,1)。通过点 A 的坐标,我们可以解出 \( m = -2 \times (-2) + 1 = 5 \) 对于反比例函数,有 \( 1 = \frac{k}{-2} \),得到 \( k = -2 \)。所以一次函数解析式为 \( y=-2x+5 \),反比例函数解析式为 \( y=-\frac{2}{x} \)。对于第二个交点 B,联立两个函数方程解得 \( B(1,-2) \)。直角三角形 AOB 的面积 \( S = \frac{1}{2}|OA| \cdot |AB| = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} \)。
7. 根据点 A(-2,1)和点 B(,m),可以解出反比例函数和一次函数的解析式。对于反比例函数,有 \( 1 = \frac{k}{-2} \),所以 \( k = -2 \),反比例函数为 \( y = -\frac{2}{x} \)。对于一次函数,因为点 B 在一次函数图像上,所以有 \( m = a \cdot + b \),同时点 A 在图像上,所以 \( 1 = -2a + b \)。联立方程组解得 \( a \) 和 \( b \),进而得到一次函数解析式。然后可以找出使一次函数值小于反比例函数值的 \( x \) 的取值范围。
8. 蓄水池的排水问题可以通过反比例函数来解决。蓄水池的容积 \( V \) 与时间 \( t \) 成反比,即 \( V = \frac{Q}{t} \)。如果每小时排水 8m³,6 小时排空,则蓄水池容积 \( V = 8 \times 6 = 48 \) m³。改变每小时的排水量 \( Q \) 会改变所需时间 \( t \)。具体关系式为 \( t = \frac{48}{Q} \)。如果要在 5 小时内排空,需要 \( Q = \frac{48}{5} \) m³/h。最大排水量 12m³/h 时,时间 \( t = \frac{48}{12} = 4 \) h。
9. 反比例函数与一次函数交于 A(-2,1)、B(1,n),可解得反比例函数 \( y = -\frac{2}{x} \)。一次函数经过点 A 和 B,所以有 \( 1 = -2k + b \) 和 \( n = k + b \),联立方程组解得 \( k \) 和 \( b \),得到一次函数解析式。直角三角形 AOB 的面积可以通过坐标计算得到。
课后作业部分涉及反比例函数的性质和图像特征,包括点是否在图像上、图像分布、反比例函数的乘积性质、反比例函数的解析式求解等。这些问题需要根据反比例函数的基本知识和解方程的方法来解答。例如,点(,)不在反比例函数图像上,反比例函数的图像不会穿过原点;当 \( x > 0 \) 时,\( y \) 值随着 \( x \) 的增大而减小。对于反比例函数 \( y = \frac{k}{x} \),如果点(-1.5,2)在图像上,则 \( k = -1.5 \times 2 = -3 \)。其他问题的解答也需要类似地分析反比例函数的性质和图像特征。