在数学建模中，拟合是一项关键的技术，用于根据给定的数据找到最佳的数学函数来描述数据的趋势。本文将深入探讨拟合问题及其在数学建模论文中的应用，特别是线性规划和非线性问题。
拟合的基本原理是寻找一个函数，使该函数在某种准则下与数据点尽可能接近。例如，在一个热敏电阻的例子中，我们有温度与电阻的数据点，目标是找出一个函数关系来预测在特定温度下的电阻值。这通常涉及到线性或非线性模型的构建，例如在上述例子中可能使用线性模型 \( R = at + b \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 是待定系数。
线性规划是一种优化方法，常用于在满足一系列约束条件下最大化或最小化某个目标函数。在拟合问题中，线性规划可能被用来确定一组函数参数，使得拟合的曲线或表面与数据点之间的误差平方和最小，这种方法称为线性最小二乘法。线性最小二乘法的基本思路是选取一组基础函数，然后找到这些函数的系数，使得所有数据点到由这些函数生成的曲线的垂直距离平方和最小。
超定方程组是线性最小二乘法中的一个重要概念，它是指含有更多方程（n）的方程组比未知数（m）多。在这种情况下，通常没有唯一解，但可以寻找使得误差平方和最小的解，即最小二乘解。当系数矩阵 \( R \) 的转置与自身的乘积 \( R^TR \) 可逆时，我们可以利用这个性质求解最小二乘解。
除了线性拟合，还有非线性拟合，例如在药物动力学模型中，可能需要拟合数据来描述血药浓度随时间的变化规律。在这种情况下，可能会选择指数函数或半对数坐标下的曲线。非线性拟合通常涉及迭代算法，如梯度下降法或牛顿法，来逐步逼近最佳拟合参数。
此外，拟合与插值有所不同。插值要求找到的函数精确地穿过每个给定点，而拟合则更关注函数整体上代表数据的趋势。例如，样条插值是一种常用的插值方法，它在保持光滑性的同时尽可能贴近数据点。
数学建模中的拟合问题涉及选择合适的数学模型，使用线性或非线性方法来确定模型参数，并通过最小化误差来优化模型。这一过程对于理解和预测复杂系统的行为至关重要，广泛应用于工程、科学、经济学等多个领域。在进行数学建模论文时，理解并熟练运用这些技术对于提出准确且有洞察力的模型至关重要。
