无线通信Andrea Goldsmith习题答案Chapter2

### 无线通信Andrea Goldsmith习题答案Chapter2解析 #### 题目解析与解答概览 在Andrea Goldsmith的经典著作《无线通信》中，第二章涉及了许多基础但重要的概念，包括路径损耗、多径传播效应以及信号衰落等。本篇将对第二章中的部分练习题进行详细解析，旨在帮助读者更好地理解这些关键概念。 #### 1. 路径损耗计算 **题目描述**：已知路径损耗公式为 \(Pr = Pt \left(\frac{\sqrt{G_l\lambda}}{4\pi d}\right)^2\)，其中 \(Pr\) 为接收功率，\(Pt\) 为发射功率，\(G_l\) 为天线增益，\(\lambda\) 为波长，\(d\) 为距离。已知波长 \(\lambda = c/f_c = 0.06 \times 10^{-3}\) m，\(c\) 为光速，\(f_c\) 为载波频率。当距离 \(d\) 分别为 10 m 和 100 m 时，求发射功率 \(Pt\)。 **解析**： - 当 \(d = 10\) m 时，代入公式得 \(Pr = Pt \left(\frac{\lambda}{4\pi d}\right)^2\)。 - 解方程得到 \(Pt = 4.39kW\)。 - 当 \(d = 100\) m 时，同样代入公式得到 \(Pt = 438.65kW\)。 - 可见，随着距离的增加，所需的发射功率显著增加，这是因为路径损耗随距离的平方成正比增加。 **结论**：高频信号的衰减非常高，因此在设计系统时需要考虑这一因素。 #### 2. 多径传播延迟扩展分析 **题目描述**：考虑一个简单的双径模型，其中直接路径和反射路径存在延迟差异。已知基站高度 \(h_t = 10\) m，用户终端高度 \(h_r = 2\) m，两者的水平距离 \(d = 100\) m。求延迟扩展 \(\tau\) 和相位差 \(\Delta\phi\) 的表达式，并分析信号衰落条件。 **解析**： 1. **延迟扩展** \(\tau\) 的计算公式为 \(\tau = (x + x' - l) / c\)，其中 \(x\) 和 \(x'\) 分别是直接路径和反射路径的长度，\(l\) 是基站与用户之间的直线距离，\(c\) 是光速。 2. 直接路径和反射路径的长度分别为 \(l = \sqrt{(h_t - h_r)^2 + d^2}\) 和 \(x' = \sqrt{(h_t + h_r)^2 + d^2}\)。 3. 进一步分析，当基站高度 \(h_t\) 和用户终端高度 \(h_r\) 相对于水平距离 \(d\) 较小时，可以进行近似处理，得到延迟扩展的简化表达式为 \(\tau \approx \frac{2(h_t + h_r)}{d}\)。 4. **相位差** \(\Delta\phi\) 的计算公式为 \(\Delta\phi = \frac{2\pi (x' + x - l)}{\lambda}\)，其中 \(\lambda\) 为波长。 **结论**：信号衰落（即信号幅度的快速变化）发生在相位差 \(\Delta\phi\) 为奇数倍的 \(\pi\) 时，即 \(\Delta\phi = (2n+1)\pi\)，其中 \(n\) 为整数。 #### 3. 小区半径计算 **题目描述**：已知基站高度 \(h_t = 20\) m，用户终端高度 \(h_r = 3\) m，载波频率 \(f_c = 2\) GHz。求小区半径 \(d_c\)。 **解析**： - 计算波长 \(\lambda = c / f_c = 0.15\) m。 - 使用公式 \(d_c = 4 h_t h_r / \lambda\) 计算得到小区半径 \(d_c = 1.6\) km。 **结论**：该小区半径适合郊区应用，因为用户密度较低，可以保持较大的小区规模，同时由于障碍物较少，阴影效应较小。 #### 4. 建筑反射模型分析 **题目描述**：考虑建筑物作为反射平面，求反射路径的长度。 **解析**： - 假设基站高度为 \(h_t\)，用户终端高度为 \(h_r\)，则直接路径长度 \(l = \sqrt{(h_t - h_r)^2 + d^2}\)，反射路径长度 \(x' = \sqrt{(h_t + h_r)^2 + d^2}\)。 - 通过几何关系求解反射路径长度 \(d\)。 **结论**：通过建立数学模型并求解，可以准确地估计反射路径的影响，这对于优化无线通信系统的性能至关重要。 #### 5. 多径传播中的脉冲响应分析 **题目描述**：假设系统脉冲响应为 \(h(t) = \alpha_1 \delta(t - \tau) + \alpha_2 \delta(t - (\tau + 0.22 \mu s))\)，其中 \(\delta(t)\) 为单位脉冲函数，基站和用户终端的高度均为 \(8\) m，载波频率 \(f_c = 900\) MHz。求反射路径的长度 \(d\) 及其对应的时延 \(\tau\)。 **解析**： - 已知反射路径的时延为 \(0.22 \mu s\)，可得反射路径长度 \(d\) 的表达式。 - 代入数据求解得到 \(d = 16.1\) m。 - 根据反射路径长度 \(d\) 可进一步计算出时延 \(\tau = d / c\)。 **结论**：通过分析脉冲响应，可以确定反射路径的具体参数，这对设计高性能无线通信系统具有重要意义。 #### 总结 通过对Andrea Goldsmith教授《无线通信》第二章的部分练习题的解析，我们不仅加深了对路径损耗、多径传播效应以及信号衰落等概念的理解，而且学会了如何利用数学工具解决实际问题。这些基础知识对于从事无线通信领域的研究者和工程师来说都是必不可少的。