在MATLAB中，寻找有约束条件的多元变量函数的最小值是优化问题的一个重要领域。这类问题广泛应用于工程、科学计算、经济模型等多学科领域。MATLAB提供了强大的工具箱来解决这类问题，如Global Optimization Toolbox（全局优化工具箱）和Optimization Toolbox（优化工具箱）。我们将重点讨论后者，它包含了求解有约束条件的函数最小化的多种算法。
1. **优化工具箱中的函数**：
- `fmincon`：这是MATLAB中最常用的函数，用于在满足一组线性和非线性约束的情况下找到目标函数的最小值。它能处理等式约束和不等式约束。
- `fminunc`：适用于无约束优化，但在有约束情况下也可通过手动添加约束条件进行使用。
2. **使用`fmincon`的步骤**：
- 定义目标函数：这是一个需要最小化的函数，通常表示为`fun(x)`，其中`x`是变量向量。
- 定义初始猜测值：`x0`是优化过程的起始点。
- 设置约束条件：
- `A`和`b`定义了线性不等式约束`A*x <= b`。
- `Aeq`和`beq`定义了线性等式约束`Aeq*x = beq`。
- `nonlcon`是一个函数，用于指定非线性约束。
- 调用`fmincon`函数，如下所示：
```matlab
[x,fval] = fmincon(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
```
其中，`lb`和`ub`分别是变量的下界和上界，`options`可以设置优化选项，如迭代次数、终止条件等。
3. **非线性约束**：
对于非线性约束，MATLAB要求用户自定义一个函数，该函数返回一个向量，其元素对应于每个约束的违反程度。例如，如果`c(x)`是非线性不等式约束，`ceq(x)`是非线性等式约束，那么`nonlcon`函数可能如下所示：
```matlab
function [c, ceq] = nonlcon(x)
c = ...; % 计算非线性不等式约束的违反程度
ceq = ...; % 计算非线性等式约束的违反程度
end
```
4. **优化选项**：
优化选项允许用户自定义优化过程，如选择特定的优化算法（如`SQP`，`interior-point`等）、设置最大迭代次数、调整收敛阈值等。例如，可以通过`optimoptions`创建选项结构体：
```matlab
options = optimoptions('fmincon','Algorithm','interior-point','Display','iter');
```
5. **求解过程**：
一旦所有参数准备就绪，`fmincon`将开始迭代，直到满足停止条件（如达到精度或迭代次数限制），然后返回最小化后的变量值`x`和目标函数的最小值`fval`。
6. **实例应用**：
假设有一个二元函数`f(x,y) = x^2 + y^2`，我们需要在约束`x + y <= 1`和`x >= 0, y >= 0`下找到它的最小值，可以这样实现：
```matlab
fun = @(x) x(1)^2 + x(2)^2;
A = [1 1];
b = 1;
lb = [0;0];
x0 = [0.5;0.5];
[x,fval] = fmincon(fun,x0,[],[],[],[],lb,[],@nonlcon,options);
```
通过以上步骤，我们可以利用MATLAB的`fmincon`函数解决有约束条件的多元变量函数最小值问题。在实际应用中，需要根据具体问题调整目标函数、约束条件以及优化选项，以获得最佳解决方案。
