杜教筛是一种用于解决数论问题的算法。它主要用于计算在给定区间内数的质因数个数之和。该算法的基本思想是结合了区间筛和积性函数的性质，在一定范围内高效地计算出积性函数的前缀和。
具体来说，杜教筛的步骤包括：
初始化：设定一个范围 [1, n] 和一个积性函数 f(x)。
筛选：使用欧拉筛法或类似的方式筛选出 [1, n] 范围内的所有质数，并将它们标记出来。
积性函数前缀和：从小到大遍历每个数 i，计算出 f(i) 的前缀和，即 prefix[i] = ∑[j=1 to i] f(j)。
计算区间和：对于给定的区间 [l, r]，可以利用前缀和数组 prefix[] 计算出区间内 f(x) 的和，即 ∑[i=l to r] f(i) = prefix[r] - prefix[l-1]。
杜教筛算法的时间复杂度为 O(n log log n)，其中 n 为给定范围的长度。因此，它在解决一定规模的数论问题时具有较高的效率，常被用于算法竞赛中解决相关问题。
