概率论与数理统计期末复习20题及解答
概率论是数学的一个分支，研究随机事件的概率规律和统计规律。数理统计是统计学的数学基础，研究如何从数据中提取有用信息。
第一章 随机事件与概率
1. 甲袋中有 4 个白球 3 个黑球，乙袋中有 2 个白球 3 个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球返还甲袋。求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率。
答：甲袋中黑球数增加的概率为 \frac{3}{7} \times \frac{4}{8} + \frac{4}{7} \times \frac{3}{8} = \frac{21}{56} = \frac{3}{8}。
2. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率。
答：此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率为 \frac{1}{10} \times \frac{9}{10} + \frac{9}{10} \times \frac{1}{10} = \frac{9}{50}。
3. 已知将 0, 1 两字符之一输入信道时输出的也是字符 0 或 1，且输出结果为原字符的概率为 α (0 < α < 1)。假设该信道传输各字符时是独立工作的。现以等概率从“101”中任取一个输入信道。求输出结果恰为“000”的概率。
答：输出结果恰为“000”的概率为 α³。
4. 试卷中的一道选择题有 4 个答案可供选择，其中只有 1 个答案是正确的。某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案。设该考生会做这道题的概率为 0.85。（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率。
答：（1）该考生选出此题正确答案的概率为 0.85 × 1 + 0.15 × \frac{1}{4} = 0.9125。 （2）该考生确实会做这道题的概率为 \frac{0.85}{0.9125} = \frac{68}{73}。
第二章 随机变量及其分布
5. 设连续随机变量 X 的分布函数为 F(x) = A + B arctan x, -∞ < x < +∞。（1）求系数 A 及 B；（2）求 X 落在区间 (-1, 1) 内的概率；（3）求 X 的概率密度。
答：（1）A = \frac{1}{π}, B = \frac{1}{π}。（2）P(-1 < X < 1) = \frac{1}{2}。（3）f(x) = \frac{1}{π(1 + x²)}。
6. 设随机变量 X 的概率密度为 f(x) = ax, 0 ≤ x ≤ 1, f(x) = 0, 其他。求：（1）常数 a；（2）P(0.5 < X < 1.5)；（3）X 的分布函数 F(x)。
答：（1）a = 2。 （2）P(0.5 < X < 1.5) = \frac{3}{4}。（3）F(x) = x², 0 ≤ x ≤ 1, F(x) = 1, x > 1。
7. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率密度为 f(x, y) = A(1 + xy), x < 1, y < 1; f(x, y) = 0, 其他。求：（1）系数 A；（2）X 的边缘概率密度 fX(x)；（3）概率 P(Y ≤ X)。
答：（1）A = 1。（2）fX(x) = 1 - x, 0 ≤ x ≤ 1。（3）P(Y ≤ X) = \frac{1}{3}。
8. 设二维随机变量 (X, Y) 的概率密度为 f(x, y) = 1, 0 < x < 1, 0 < y < 2x; f(x, y) = 0, 其他。求：（1）(X, Y) 的边缘概率密度 fX(x), fY(y)；（2）概率 P(X ≤ 1, Y ≤ 1)；（3）判断 X, Y 是否相互独立。
答：（1）fX(x) = 2x, 0 ≤ x ≤ 1, fY(y) = y, 0 ≤ y ≤ 2。（2）P(X ≤ 1, Y ≤ 1) = \frac{1}{2}。（3）X, Y 是相互独立的。
9. 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X ~ U[0, 0.2], Y 的概率密度函数为 fY(y) = 5e^{-5y}, y > 0。（1）求 X 和 Y 的联合概率密度 f(x, y)；（2）求概率 P(Y ≤ X)。
答：（1）f(x, y) = 25e^{-5y}, 0 ≤ x ≤ 0.2, y > 0。（2）P(Y ≤ X) = \frac{1}{e}。
第三章 数字特征
10. 设随机变量 X 的概率密度为 f(x) = (a - b)x + b, 0 ≤ x ≤ 1, f(x) = a(2 - x), 1 < x ≤ 2, f(x) = 0, 其他。已知 E(X) = 1，求：（1）a, b 的值；（2）E(2X + 3)。
答：（1）a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{2}。（2）E(2X + 3) = 5。
11. 设随机变量 X 的概率密度为 f(x) = Ae^{-2x}, x > 0, f(x) = 0, x ≤ 0。求：（1）常数 A；（2）E(X) 和 D(X)。
答：（1）A = 2。（2）E(X) = \frac{1}{2}, D(X) = \frac{1}{4}。
12. 设 (X, Y) 的联合概率分布如下：XY01 / 41 / 4101 / 201关系数 R(X, Y)。（1）求 X, Y 的数学期望 E(X), E(Y), 方差 D(X), D(Y)。（2）求 X, Y 的协方差 cov(X, Y) 与相关系数 R(X, Y)。
答：（1）E(X) = \frac{11}{16}, E(Y) = \frac{17}{32}, D(X) = \frac{135}{256}, D(Y) = \frac{29}{128}。（2）cov(X, Y) = \frac{15}{64}, R(X, Y) = \frac{15}{\sqrt{29 \times 135}}。
第四章 正态分布
13. 假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩 X (百分制) 近似服从正态分布，已知满分为 100 分平均成绩为 75 分，95 分以上的人数占考生总数的 2.3%。（1）试估计本次考试的不及格率（低于 60 分为不及格）；（2）试估计本次考试成绩在 65 分至 85 分之间的考生人数占考生总数的比例。
答：（1）不及格率约为 15.87%。（2）占考生总数的比例约为 55.38%。
14. 两台机床分别加工生产轴与轴衬。设随机变量 X (单位：mm) 表示轴的直径，随机变量 Y (单位：mm) 表示轴衬的内径，已知 X ~ N(50, 0.3), Y ~ N(52, 0.4)，显然 X 与 Y 是独立的。如果轴衬的内径与轴的直径之差在 1~ 3 mm 之间，则轴与轴衬可以配套使用。求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率。
答：任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率约为 95.45%。
第五章 数理统计基本知识
15. 设总体 X ~ N(0, 1), X1, X2, …, X5 是来自该总体的简单随机样本，求常数 k > 0 使 T = k(X1 + 2X2) + X3 + X4 + X5 ~ t(3)。
答：k ≈ 0.577。
16. 设总体 X ~ N(40, 5)，从该总体中抽取容量为 64 的样本，求概率 P(|X - 40| < 1)。
答：P(|X - 40| < 1) ≈ 0.6827。
第六章 参数估计
17. 设总体 X 的概率密度为 f(x) = λ e^{-λ(x-2)}, x ≥ 2。求总体参数 λ 的最大似然估计。
答：λ̂ = \frac{n}{\sum_{i=1}^n (x_i - 2)}。
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