选用 IEEE 33 节点测试系统，利用二阶锥规划实现潮流计算，并写出对偶锥规划形式
通过牛顿-拉夫逊算法计算出全天网损为 2.4964MWh，作为 benchmark
原问题如下：
pri ,
( , )
P
, , , L, , L
Q
, , , L, , L
2 2 U
, , , , ,
, m
min
: , ,
: , ,
2( ) ( ) 0 : , , ( , )
0
j
j
ij ij t
t T i j L
ij t ij t ij jk t t j t
k w
ij t ij t ij jk t t j t
k w
j t i t ij t ij ij t ij ij ij ij ij t
ij t
f r I
P I r P P t T j J
Q I x Q Q t T j J
U U P r Q x r x I t T i j L
I I
l
l
l
Î Î
Î
Î
=
- - = " Î " Î
- - = " Î " Î
- + + - + = " Î " Î
£ £
å å
å
å
I I
ax, , ,
U U
min, , max, , ,
,
SOCP
, , , ,
, ,
2
: , , , ( , )
: , , ,
2
2 : , , ( , )
ij ij t ij t
j j t j j t j t
ij t
ij t ij t i t ij t
ij t i t
t T i j L
U U U t T j J
P
Q I U t T i j L
I U
m m
m m
m
- +
- +
" Î " Î
£ £ " Î " Î
£ + " Î " Î
-
该问题为二阶锥规划问题，本质是将求解空间从锥面松弛到锥体，由于目标函数有足够的梯
度向锥面移动，松弛是严格的，计算的结果依然为 2.4964MWh。
为了写出对偶锥表达式，对锥约束进行变换，从而得到标准锥形式：
a a
, , ,
b b
, , ,
c c
, , , ,
d d
, , , ,
a b c d SOCP
, , , , ,
2
2 : , , ( , )
2 : , , ( , )
: , , ( , )
: , , ( , )
: , , ( , )
ij t ij t ij t
ij t ij t ij t
ij t ij t i t ij t
ij t ij t i t ij t
ij t ij t ij t ij t ij t
W P t T i j L
W Q t T i j L
W I U t T i j L
W I U t T i j L
W W W W t T i j L
l
l
l
l
m
= " Î " Î
= " Î " Î
= - " Î " Î
= + " Î " Î
£ " Î " Î
接着写出拉格朗日函数，如下：
( )
( )
( )
L
L
P
, , , , , L,
( , )
Q
, , , , L,
U 2 2
, , , , ,
( , )
I
,
2
j
j
ij ij t j t ij t ij t ij jk t t
t T i j L t T j J k w
j t ij t ij t ij jk t t
t T j J k w
ij t j t i t ij t ij ij t ij ij ij ij
t T i j L
ij t ij
L r I P I r P P
Q I x Q Q
U U P r Q x r x I
I
l
l
l
m
Î Î Î Î Î
Î Î Î
Î Î
-
æ ö
= + - - -
ç ÷
ç ÷
è ø
æ ö
+ - - -
ç ÷
ç ÷
è ø
+ - + + - +
+ -
å å å å å
å å å
å å
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
I+
, , , max,
( , ) ( , )
U U+
, min, , , , max,
a a b b
, , , , , ,
( , ) ( , )
c c d d
, , , , , ,
2 2
t ij t ij t ij
t T i j L t T i j L
j t j j t j t j t j
t T j J t T j J
ij t ij t ij t ij t ij t ij t
t T i j L t T i j L
ij t ij t ij t i t ij t ij t
I I
U U U U
W P W Q
W I U W
m
m m
l l
l l
Î Î Î Î
-
Î Î Î Î
Î Î Î Î
+ -
+ - + -
+ - + -
+ - + +
å å å å
å å å å
å å å å
( )
( )
, ,
( , ) ( , )
SOCP a b c d
, , , , ,
2
( , )
ij t i t
t T i j L t T i j L
ij t ij t ij t ij t ij t
t T i j L
I U
W W W W
m
Î Î Î Î
Î Î
- -
+ -
å å å å
å å
最优条件如下：
