一、状态空间建模
图 2.1 单级倒立摆模型示意图
忽略空气阻力、各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象为小车和匀质杆组成的
系统。单级倒立摆模型结构如图 2.1 所示。其中，小车质量 M（kg），摆杆质量 m
（kg），小车摩擦系数 b（N/m/sec），摆杆转动轴心到杆质心的长度
l
（m），摆杆
惯量 I（kg*m2），加在小车上的力 F（N），小车位置 x（m），摆杆与垂直向上方
向的夹角φ（rad），摆杆与垂直向下方向的夹角θ（rad）。
设小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量为 N 和 P。
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
M
x
=
F
―
b
x
―
𝑁
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：
N
=
m
d
2
dt
2
(𝑥
+
𝑙
sin
𝜃
)
即：
N
=
m
x
+
𝑚𝑙
𝜃
―
𝑚𝑙
𝜃
2
sin
𝜃
联立上式，得到系统的第一个运动方程：
(
M
+
m
)
x
+
𝑏
x
+
𝑚𝑙
𝜃
cos
𝜃
―
𝑚𝑙
𝜃
2
sin
𝜃
=
𝐹
对摆杆垂直方向上的合力进行分析，得到下面方程：
P
―
mg
=
m
d
2
dt
2
(𝑙
cos
𝜃
)
力矩平衡方程：
P
―
mg
=
―
𝑚𝑙
𝜃
sin
𝜃
―
𝑚𝑙
𝜃
2
cos
𝜃
―
𝑃𝑙
sin
𝜃
―
𝑁𝑙
cos
𝜃
=
𝐼
𝜃
