Fluid Mechanics(Fluid Mechanics Kundu-Cohen-Dowling-2012)习题答案

在《Fluid Mechanics(Fluid Mechanics Kundu-Cohen-Dowling-2012)》这本教材的习题中，Exercise 1.1 提到了一个有趣的问题，涉及概率论和流体力学的知识。问题的核心是估算一个人喝下含有古代航海者倾倒的水分子的概率。这里我们来详细分析这个问题： 我们需要知道涉及的体积： - d：航海者倾倒的水体积 = 100 cm³ - c：一杯水的体积 ≈ 240 ml = 240 cm³ - V：地球海洋的总体积，可以通过公式计算：V = 4/3 * π * R² * D * f，其中 R 是地球半径，D 是海洋平均深度，f 是海洋覆盖地球表面的比例 根据给出的数据，我们可以算出地球海洋的体积： - R = 6370 km = 6.37 * 10^6 m - D = 3.8 km = 3.8 * 10^3 m - f = 0.71（海洋覆盖地球表面的比例） 代入公式得到： - V ≈ 1.376 * 10^18 m³ 接下来，我们计算航海者倾倒的水在海洋中所占的体积比例，即每分子水来自倾倒水的概率(Po)： - Po = d / V ≈ 1.0 * 10^-4 m³ / 1.376 * 10^18 m³ ≈ 7.27 * 10^-23 我们要找的是下一杯水中至少含有一分子倾倒水的概率(P1)，可以利用互补概率来计算： - P1 = 1 - P2 其中 P2 是所有分子都不来自倾倒水的概率。 计算 P2 涉及到组合概率，因为每杯水中包含大约 240 / 18 = 13.33 分子水（假设水分子体积可忽略不计）。要所有分子都不来自倾倒水，P2 就是所有分子都不来自倾倒水的概率的乘积，由于这个乘积非常小，直接计算会遇到计算上困难。 一种简化的方法是使用泊松分布或者大数定律进行近似。假设水分子的分布是均匀的，那么在一杯水中，没有倾倒水分子的期望数量是 (1 - Po) * N，其中 N 是一杯水中水分子的数量。根据大数定律，随着样本量（N）的增加，实际结果接近于期望值的概率增加。 对于非常小的概率 Po，(1 - Po) 接近于 1，因此 P2 可以近似为 (1 - Po)^N。但是，由于 N 较大，计算 (1 - Po)^N 非常接近于 0，这表明 P2 极小，P1 将非常接近于 1。 结论是，尽管倾倒的水分子在海洋中占比极小，但由于水的混合均匀性，几乎不可能喝到完全没有这些水分子的水。这意味着在实际情况下，喝到至少含有一个航海者倾倒的水分子的概率非常高。 这个问题不仅考察了流体力学中的体积计算，还涉及到概率论、统计学和物理化学中的基本概念，如分子数估算和概率分布。在解决实际问题时，往往需要综合运用不同领域的知识。