线代基础思维导图2.0.pdf
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线性代数
（数⼆·基础）
v2.0.230924Akira 37
第一章⾏列式
第⼆章矩阵
第三章向量
第四章线性⽅程组
第五章特征值与特征向量
第六章⼆次型
⾏列式的概念
重要⾏列式
展开定理
⾏列式的公式
Cramer法则
概念
合同矩阵
正定矩阵
定义：∀x = 0, x Ax >
T
0
条件
充要条件
必要条件
a >
ii
0(i = 1, 2, ..., n)
∣A∣ > 0
f的正惯性指数为n
A ≃ E
A的特征值均⼤于0
A的顺序主⼦式均⼤于0
基本运算
线性表⽰
线性相关与⽆关
向量组的秩
定义：极⼤线性⽆关组中向量的个数
极⼤⽆关组求法：化为⾏阶梯形，每⾏⾸⾮零元对应的列向量即为极⼤⽆关组
定义
相关的判定条件
⽆关的判定条件
充要条件
充分条件
充要条件
充分条件
整体⽆关->部分⽆关
低维⽆关->⾼维⽆关
不含零向量的正交向量组线性⽆关
不同特征值的特征向量线性⽆关
含零向量的向量组线性相关
部分相关->整体相关
⾼维相关->低维相关
以少表多->多必相关
推论 n+1个n维向量（维数⼩于个数）线性相关
逆否：⽆关被表->个数不多
向量组中⾄少一个向量可由其余向量线性表⽰
⻬次⽅程组有⾮零解
向量组中任意向量均不可由其余向量线性表⽰
⻬次⽅程组只有零解
推论
系数矩阵降秩，即r(系数矩阵)<n
n个n维向量α , α , ..., α 线性无关 ⇔
1 2 n
∣α , α , ..., α ∣ =
1 2 n
0
系数矩阵满秩，即r(系数矩阵)<n
若存在一组不全为0的数k , k , ..., k , 使得k α +
1 2 s 1 1
k α +
2 2
... + k α =
s s
0，则该向量组线性相关；反之线性无关
推论
单个向量α线性相关 ⇔ α = 0
两个向量α , α 线性相关 ⇔
1 2
α , α 对应分量成比例
1 2
上/下三⻆、主对⻆⾏列式D = Πa
ii
副对⻆上/下三⻆、副对⻆⾏列式D = (−1) Πa
2
n(n−1)
ii
阶 型⾏列式n ab
拉普拉斯展开式
范德蒙⾏列式
向量的定义：1 × n(行向量)或n × 1(列向量)的矩阵
加法、数乘：同矩阵
内积
定义：(α, β) = α β =
T
β α =
T
a b +
1 1
a b +
2 2
... + a b
n n
向量的⻓度：∣α∣ = =(α, α) a + a + ... + a
1
2
2
2
n
2
正交
注意转置后依然成⽴
向量正交的定义：(α, β) = 0 ⇔ α⊥β
正交矩阵
Schmidt正交
设向量组 线性⽆关α , α , ..., α
1 2 n
单位化技巧：提前约去系数
定义：AA =
T
E或A A =
T
E
充要条件
性质
例： =
∣kβ∣
kβ
∣β∣
β
1.∣A∣ = ±1
2.A, B正交，则 − A, AB, A , A , A 均正交
T −1 ∗
A =
T
A
−1
⾏/列向量组单位正交
令A = (α , α , ..., α ),
1 2 n
则(α , α ) =
i i
1, (α , α ) =
i j
0(i = j, i, j = 1, 2, ..., n)
单位向量：∣α∣ = 1
不作声明时，默认列向量（ ）n × 1
设A , B
m n
a：主对⻆
b：其余部分
两处b紧靠两处n − 1
相关概念
线表的判定条件
线表的求法
主对⻆元素乘积
将增⼴矩阵化为⾏最简阶梯形，β列的数即为线表的系数
线性组合：k α +
1 1
k α +
2 2
... + k α , 其中k , k , ..., k 为任意一组数
n n 1 2 n
线性表⽰：存在一组数k , k , ..., k , 使得β =
1 2 n
k α +
1 1
k α +
2 2
... + k α
n n
向量组等价
定义：B = C AC ⇔
T
A ≃ B
条件
⼆次型定义：f = x Ax
T
标准型：只有平⽅项的⼆次型
规范型：系数只能为1,-1,0的标准型
充要条件
充分条件
必要条件
充要条件
充分条件
A ∽ B
定义：若向量组I,II可互相线性表⽰，则I,II等价
充要条件
A≌B
r(I)=r(I,II)=r(II) 或：I可由II表⽰，且r(I)=r(II)
原组⽆关，加⼊则相关，则加⼊的可由原组的表⽰
⾮⻬次⽅程组有解
正、负惯性指数相同x Ax, x Bx
T T
r(系数矩阵)=r(增⼴矩阵)
A,B正、负特征值个数相同
求法
拉格朗⽇配⽅法
正交变换法
合同变换法（略）
，C的求法同上一章Qx = Cy
基本公式
⾏列式的求法
余⼦式、代数余⼦式
按⾏/列展开定理
数字⾏列式：利⽤重要⾏列式或展开
抽象⾏列式：利⽤性质或公式
同⾏列组合得式，异⾏列组合得0
可根据代数余⼦式前系数还原⾏列式
相互转换： ，反之亦成⽴A =
ij
(−1) M
i+j
ij
特点：值与i、j⾏元素⽆关
∣kA∣ = k ∣A∣
n
∣AB∣ = ∣A∣∣B∣
∣A ∣ =
T
∣A∣
∣A ∣ =
−1
∣A∣
−1
∣A ∣ =
∗
∣A∣
n−1
若A ∽ B, 则∣A∣ = ∣B∣
定义： 项不同⾏不同列元素乘积的代数和n!
计算：对⻆线法则（适⽤于2阶、3阶）
基本性质
概念拓展
特殊求法
性质
相似
定义：B = P AP ⇔
−1
A ∽ B
性质
相似对⻆化
实对称矩阵
1.不同特征值的特征向量线性⽆关
2.不同特征值的特征向量之和不是特征向量
3.k重特征值最多有k个线性⽆关的特征向量
4.特征值之和为A的迹，特征值之积为|A|
5.
6.
性质
正交相似对⻆化的⽅法：同相似对⻆化，只需将特征向量Schmidt正交化组成正交矩阵Q即可
分解定理
γ , γ , ..., γ 为实对称矩阵A分别属于λ , λ , ..., λ 的单位正交的特征向量，则A =
1 2 n 1 2 n
λ γ γ +
1 1
1
T
λ γ γ +
2 2
2
T
... + λ γ γ .若r(A) =
n n
n
T
1, 则A = tr(A)γ γ
1
1
T
1.特征值均为实数
2.不同特征值的特征向量不但⽆关并且正交
3.k重特征值有k个线性⽆关的特征向量
4.可正交相似对⻆化
即必能相似对⻆化
1.⾏列互换，值不变
2.两⾏/两列互换，值变号
3.可将一⾏/列的公因⼦提出
4.拆⾏/列分配
5.一⾏/列乘k加到另一⾏，值不变
1 ≤ n − r(A − λ E) ≤
i
k
i
推论：两⾏/列成⽐例，值不变
对⽐——矩阵一次提需所有元素的公因⼦
若α为Ax = 0的非零解，则α为A属于特征值0的特征向量
若A的各⾏元素之和均为 ，则 为A属于特征值 的特征向量λ (1, 1, ..., 1)
T
λ
一⾏/列连续交换两次，值不变
同一特征值的特向的⾮零线性组合为特向
定义：P AP =
−1
Λ = diag(λ , λ , ..., λ ), 其中P =
1 2 n
(α , α , ..., α )
1 2 n
充要条件
充分条件
相似对⻆化的⽅法：解特征⽅程求出特征值-求出所有特征向量-分别组成可逆矩阵P和对⻆矩阵 ，完事Λ
性质
1.A ∽ B ⇒ A, B有相同的行列式、秩、特征方程、特征值、迹
2.A ∽ B ⇒ f(A) ∽ f(B), A ∽
−1
B , AB ∽
−1
BA(∣A∣ = 0).A ∽
T
B , A ∽
T ∗
B
∗
若A可相似对⻆化（esp.A为实对称矩阵），则r(A)等于⾮零特征值的个数
A有n个不同的特征值
A为实对称矩阵
A有n个线性⽆关的特征向量
k重特征值有k个线性⽆关的特征向量
n − r(A − λ E) =
i
k
i
不同特征值的特征向量⽆关
上(下)三⻆矩阵、主对⻆矩阵的特征值为主对⻆线元素
若aA + bE(a = 0)不可逆, 即∣aA + bE∣ = 0, 则λ = − 为A的特征值
a
b
三阶⾏列式特殊情况“爱的⾏列式”
解的性质
解的判定
公共解
同解
定义
Ax = 0与Bx = 0同解 ⇔ A, B的行向量组等价 ⇔ r(A) = r =(
B
A
) r(B)
定义
已知⽅程组(I)(II)的具体形式，则联⽴两⽅程求解
已知⽅程组(I)的具体形式和(II)的通解，则将(II)的通解带⼊(I)中确定参数
已知⽅程组(I)(II)的通解，则令其相等，确定通解中的参数
【对⽐】
向量组等价：r(I)=r(I,II)=r(II)，列联⽴。同解：⾏联⽴
基础
推⼴
某个解α既是⽅程组(I)的解⼜是⽅程组(II)的解，则称为⽅程组(I)(II)的公共解
1.n个⾮⻬次解的线性组合：
2.s个⾮⻬次的线性⽆关的解，按统一规则两两作差，可得s-1个⻬次的线性⽆关的解
1.n个⻬次解的线性组合，仍是⻬次的解
2.两个⾮⻬次解的差，是⻬次的解
3.⻬次的解+⾮⻬次的解，是⾮⻬次的解
如：η −
2
η , η −
1 3
η , ..., η −
1 s
η
1
组合系数和为0——⻬次的解
组合系数和为1——⾮⻬次的解
⽅程组(I)的解全为(II)的解，反之亦然，则两⽅程组同解
⻬次
⾮⻬次
Ax = b无解 ⇔ r(A) < r( ) ⇔A r(A) = r( ) −A 1
Ax = b有解 ⇔ r(A) = r( )A
推论
Ax = 0只有零解 ⇔ r(A) = n
Ax = 0有非零解 ⇔ r(A) < n
推论
Ax = b有解的充分条件为r(A) = m
Ax = 0有非零解的充分条件为m < n
系数矩阵⾏满秩必有解
Ax = b有唯一解 ⇔ r(A) = r( ) =A n
Ax = b有无穷多解 ⇔ r(A) = r( ) <A n
基本运算
逆矩阵
矩阵的秩
伴随矩阵
初等变换与初等矩阵
分块矩阵
加法：直接相加
数乘：直接乘
矩阵乘法：左⾏乘右列
转置
运算性质：与通常矩阵⼤体相同，特殊如下：
常⽤分块思路
定义：⾏列互换
基本性质
对称矩阵、反对称矩阵（⽅阵）
1.左乘列分块，得线性组合（每个分量）
（推出线性表⽰）
2.右乘列分块，得⽅程组矩阵表⽰：
AB=O=>Aβi=0⻬次⽅程组
AB=C=>Aβi=γ⾮⻬次⽅程组
对称矩阵：A =
T
A
反对称矩阵：A =
T
−A
性质：任意⽅针均可分解为对称矩阵与反对称矩阵的和
秩的定义
秩的性质
秩的求法
数字矩阵：作初等⾏变换化为⾏阶梯形，则秩即为⾸⾮零元的个数
抽象矩阵：利⽤定义或性质
1.r(A ) ≤
m×n
min{m, n}
2.r(A + B) ≤ r(A) + r(B)
3.r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}
4.max{r(A), r(B)} ≤ r(A∣B) ≤ r(A) + r(B)
5.r(A) = r(kA)
6.r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ), 其中P, Q可逆
7.A列满秩，则r(AB) = r(B)；A行满秩，则r(BA) = r(B)
8.r(A) = r(A ) =
T
r(A A) =
T
r(AA )
T
9.设A , B , 则AB =
m×n n×s
O ⇒ r(A) + r(B) ≤ n 矩阵相乘为 ，则秩的和不超过贴合数O
乘转置阵，秩不变
左乘列满秩/右乘⾏满秩（看贴合数），秩不变
初等变换(乘可逆阵)，秩不变
数乘⾮零常数，秩不变
秩越联⽴越⼤：联⽴的秩不少于任何一块的秩，但不⼤于秩的和
秩越乘越⼩：积的秩不超过任何一个因⼦的秩
秩与和：和的秩不超过秩的和
根本性质，秩不超过⾏数、列数中任何一个
(A + B) =
T
A +
T
B
T
(kA) =
T
kA
T
(AB) =
T
B A
T T
(A ) =
T T
A
∣A ∣ =
T
∣A∣
转置：整体转置，各块也各⾃转置
分块逆的推⼴
不满⾜交换律
不满⾜消去律 消去率的充分条件：可逆、左乘的列满秩、右乘的⾏满秩
C必加负号；同⾏在前，同列在后
若AB副对⻆，则主副分别交换
可交换的特殊矩阵：O, E, A , A , A
T −1 ∗
⾮0⼦式的最⾼阶数
满秩的定义
1.若A中存在r阶⼦式⾮0，则r(A) ≥ r
2.若A中所有r+1阶⼦式均为0，则r(A) < r + 1
3.A = O ⇒ r(A) ≥ 1
三种初等矩阵
初等矩阵的性质
初等变换的应⽤
矩阵等价
⾏满秩：r(A ) =
m×n
m
列满秩：r(A ) =
m×n
n
满秩：r(A ) =
n
n
定义：A可经过有限次初等变换变为B，则A≌B
充要条件
B = P AQ, 其中P , Q可逆
r(A) = r(B)
求逆、求秩、求极⼤⽆关组及其线表、解⽅程组
1.∣E(i, j)∣ = −1, ∣E(i(k)∣ = k, ∣E(ij(k)∣ = 1
2.E(i, j) =
T
E(i, j), E(i(k)) =
T
E(i(k)), E(ij(k)) =
T
E(ji(k))
3.E(i, j) =
−1
E(i, j), E(i(k)) =
−1
E(i( )), E(ij(k)) =
k
1
−1
E(ij(−k))
4.左乘/右乘初等矩阵相当于对应的初等⾏/列变换
5.可逆矩阵可写成有限个初等矩阵的乘积
由逆的定义可得
实为矩阵的转置性质
实为⾏列式基本性质
E(i, j)
E(i(k))
E(ij(k))
第j⾏乘k加到第i⾏
⾏右读，列左读
第i⾏/列乘k(k≠0)
第i,j两⾏/列互换
k阶⼦式：在 的矩阵中任取k⾏k列(k≤m,k≤n)所构成的⾏列式m × n
定义：A
∗
伴随的特殊计算：2阶矩阵伴随A
2
∗
伴随的性质
AA =
∗
A A =
∗
∣A∣E
(kA) =
∗
k A
n−1 ∗
(AB) =
∗
B A
∗ ∗
∣A ∣ =
∗
∣A∣
n−1
(A ) =
∗ T
(A )
T ∗
(A ) =
−1 ∗
(A ) =
∗ −1
∣A∣
A
(A ) =
∗ ∗
∣A∣ A
n−2
看"1"
记忆：主对⻆互换、副对⻆变号
衍⽣求逆A
2
−1
上标运算可任意交换
注意三个n-1：数乘的伴随、伴随的⾏列式，以及ab型⾏列式
第i列乘k加到第j列
当∣A∣ = 0时, A =
−1
, A =
∣A∣
A
∗
∗
∣A∣A
−1
转置着排列代数余⼦式
⽅便伴随与原矩阵相乘展开
左乘原矩阵：按⾏展开AA
∗
右乘原矩阵：按列展开A A
∗
定义：设A , 存在B , 使得AB =
n n
E或B A = E, 则B = A
−1
基本性质
可逆的充要条件
逆的求法
1.定义法：AB = E或BA = E
2.初等变换法：
3.伴随矩阵法：A =
−1
∣A∣
A
∗
4.分块矩阵法：
∣A∣ = 0
r(A) = n
A的列/⾏向量组线性⽆关
⻬次⽅程组 只有零解Ax = 0
⾮⻬次⽅程组 有唯一解Ax = b
的特征值均不为0A
满秩
仅⽤于2阶矩阵
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