抓住别人容易忽略的时间，圆自己的高考梦！
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平度东方滨河中学
高一数学寒假自主学习园地
抓住别人容易忽略的时间，圆自己的高考梦！
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前言
亲爱的同学们，青春的意义不仅是年轻，更是生命全力以赴的姿
态。青春因奋斗而美丽，人生因追求精彩。寒假是差距的开始。新一轮
的比拼由此拉开序幕，机会掌握在自己手中！
高一数学组全体老师衷心希望大家：
1、统筹安排，制定切实可行的假期学习计划。
科学的学习计划绝非一张时间表，它还包括内容表、落实方式及使
用表。最重要的一点是我们要提高执行力，坚持按照计划上写的做，这
是计划能够发挥作用的关键，否则就会沦为一纸空文。
2、复习的重点放在系统掌握所学知识，提高分析、解决问题的能
力上。
善于总结，善于思考是提高学习力的关键。因此，要求同学们对具
体知识点和能力点的有效总结，整理好笔记本；多动脑，多钻研，多分
析，完成此作业，以提高分析能力。
3、勿忘补弱。
在校学习期间补弱受到时间限制，而自由假期就为我们补弱提供了
极好的机会，希望同学们抓住良机，积极弥补自己的薄弱点，争取赶上
来。
4、学会感恩。
用一颗感恩的心看待一切，自然就会满眼阳光，心情舒畅。用一颗
感恩的心对亲人、老师、同学，自然会温暖人心，快乐自己。
谁拥有假期，谁拥有自主，谁就拥有未来。
抓住别人容易忽略的时间，圆自己的高考梦！
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第一章
集合与常用逻辑用语
一、基础知识
（一）集合
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性： 、 、
(2)元素与集合的关系是 ，表示符号分别为
(3)集合的表示方法：
2.集合间的基本关系
(1)子集： .
(2)真子集：若 A⊆B，且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A，则
(3)相等：若 A⊆B，且 B⊆A，则 .
(4)空集的性质：空集是 集合的子集，是任何 的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为 U，则集合
A 的补集为∁
U
A
图形表示
集合表示
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝ ，A∩
＝ ，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝ ，A∪
＝ ，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁
U
A)＝ ，A∪(∁
U
A)＝ ，∁
U
(∁
U
A)＝ .
[提醒]
（1）若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集有 2
n
个，真子集有 2
n
－1 个.
（2）子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
（3）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁
U
A⊇∁
U
B.
（4）∁
U
(A∩B)＝(∁
U
A)∪(∁
U
B)，∁
U
(A∪B)＝(∁
U
A)∩(∁
U
B).
（二）常用逻辑用语
抓住别人容易忽略的时间，圆自己的高考梦！
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1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件
p 是 q 的充分不必要条件
p 是 q 的必要不充分条件
p 是 q 的充要条件
p 是 q 的既不充分也不必要条件
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等叫做全称量词，用符号“∀”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等叫做存在量词，用符号“∃”表示.
3.全称命题和特称命题(命题 p 的否定记为
p
，读作“非 p”)
名称
形式
全称命题
特称命题
结构
对 M 中的任意一个 x，有 p(x)成立
存在 M 中的一个 x
0
，使 p(x
0
)成立
简记
否定
二、基本题型
（一） 集合的基本概念
例 1 (1)若集合 M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x
2
，|x|≤1}，则 ( )
A.M＝N B.M⊆N C.M∩N＝
D.N⊆M
(2)若 x∈A，则
1
x
∈A，就称 A 是“伙伴关系”集合，集合 M＝
32
2
1
01 ，，，，
的所有非空子
集中具有“伙伴关系”的集合的个数是( ) A.1 B.3 C.7 D.31
（二） 集合间的基本关系
例 2 已知集合 A＝{x|x
2
－5x－14≤0}，集合 B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若 B⊆A，则实数 m 的
取值范围为________.
变式：若将本例的集合 A 改为 A＝{x|x
2
－5x－14>0}.其它条件不变，则 m 的取值范围是
_______.
（三） 集合的运算
抓住别人容易忽略的时间，圆自己的高考梦！
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例 3 设 U 为全集，A，B 是其两个子集，则“存在集合 C，使得 A⊆C，B⊆∁
U
C”是“A∩B
＝
”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
（四）充分条件与必要条件的判断
例 4 设函数 f(x)＝
2
mx
＋
1
，x≥0，
－x－
1
x
，x<0.
则“m>1 是 f[f(－1)]>4”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
（五）充分条件、必要条件的应用
例 5 已知 P＝{x|x
2
－8x－20≤0}，非空集合 S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若 x∈P 是 x∈S 的必要
条件，求 m 的取值范围.
【迁移探究 1】条件不变，若 x∈P 是 x∈S 的必要不充分条件，求 m 的取值范围.
【迁移探究 2】条件不变，若 x∈P 的必要条件是 x∈S，求 m 的取值范围.
【迁移探究 3】条件不变，问是否存在实数 m，使 x∈P 是 x∈S 的充要条件？并说明理由.
（六）全称量词与存在量词
例 6 已知 f(x)＝ln(x
2
＋1)，g(x)＝
x
2
1
－m，若对∀x
1
∈[0，3]，∃x
2
∈[1，2]，使得 f(x
1
)≥g(x
2
)，
则实数 m 的取值范围是________.
变式 若将“∃x
2
∈[1，2]”改为“∀x
2
∈[1，2]”，其他条件不变，则实数 m 的取值范围是
____________.
答案 例 1 (1)D (2)B 例 2 (－∞，4] (－∞，2]∪[6，＋∞) 例 3 C 例 4 A
例 5 [0，3] [9，＋∞) m 不存在 例 6
，，
2
1
4
1
三、复习检测
四、1.集合 A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则 M 中元素的个
数为（ ）
