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第四章主要讨论的是随机变量的数字特征，这是概率论与数理统计中的核心概念，用于量化和描述随机现象的平均行为和变异程度。在实际应用中，这些特征可以帮助我们理解和预测随机过程的行为。 数学期望，也称为期望值，是随机变量平均取值的概念。它是随机变量所有可能取值与其概率乘积的总和。对于离散随机变量，数学期望的计算公式为： \[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i \] 其中，\( x_i \) 是随机变量 \( X \) 可能的取值，\( p_i \) 是对应的概率。例如，若随机变量 \( X \) 的概率分布为 \( P(X=1)=0.2, P(X=2)=0.3, P(X=3)=0.5 \)，则其数学期望为： \[ E(X) = 1 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.3 + 3 \cdot 0.5 = 0.2 + 0.6 + 1.5 = 2.3 \] 对于连续随机变量，数学期望的计算变为对概率密度函数的积分： \[ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \] 这里，\( f(x) \) 是随机变量 \( X \) 的概率密度函数。 在讲解离散情形后，课程进一步探讨了几种重要离散分布的数学期望，例如二项分布、泊松分布和几何分布等。这些分布广泛应用于各种领域，例如在生物统计中研究重复试验的成功次数，在通信工程中分析错误发生的概率等。 对于连续情形，同样考虑了几种常见分布的数学期望，如正态分布、均匀分布等。正态分布因其对称性和中心极限定理的重要性，在自然科学研究和社会科学研究中尤为常用。 此外，还讨论了随机变量函数的数学期望。如果 \( Y \) 是随机变量 \( X \) 的函数，即 \( Y = g(X) \)，那么 \( Y \) 的数学期望可以由 \( X \) 的数学期望和 \( g \) 函数计算得出，只要 \( g \) 是可积的： \[ E(Y) = E(g(X)) = \sum_{i=1}^{n} g(x_i) p_i \quad (\text{离散}) \] \[ E(Y) = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x) dx \quad (\text{连续}) \] 总结来说，本章深入介绍了随机变量的数学期望这一重要数字特征，通过离散和连续两种情况的分析，以及针对不同分布和随机变量函数的讨论，提供了理解和计算随机变量平均行为的工具。这些理论知识在解决实际问题时，如评估农作物产量、检测产品质量和研究收入差异等方面，都有着不可或缺的作用。