2011年数学建模美赛试题.docx

【数学建模】是应用数学解决现实世界问题的重要方法，它将抽象的数学理论与实际问题相结合，通过建立数学模型来分析和预测系统的性质和行为。在这个过程中，数学建模通常涉及选择适当的数学工具，例如微积分、线性代数、概率论、统计学等，以量化问题的关键要素，并通过数值计算或解析解来解决问题。 2011年的数学建模美赛（MCM）试题展示了两个不同的实际问题，它们都需要参赛者运用数学建模的技巧来解答。 **问题A：单板滑雪课程** 这个问题关注的是设计一个能够最大化垂直腾空效果的滑雪道。垂直腾空是衡量滑雪选手空中表现的重要指标，它涉及到运动员在U型池中的上升高度。为了达到这一目标，需要考虑雪道的形状，可能的优化包括使运动员在空中能够做出更大的身体扭曲。在设计过程中，参赛者需要权衡多个因素，如物理力学（重力、速度、摩擦力）、运动员技巧、安全性和建造成本。此外，"实用"的雪道设计还需要考虑到维护、可持续性和可能的天气条件影响。 **问题B：中继器协调** 这个题目涉及无线通信中的VHF频谱利用，尤其是中继器的角色。中继器用于放大弱信号并重新传输，以克服视线传输和接收的限制。然而，相邻中继器间的干扰是一个挑战，可以通过地理分离或使用CTCSS（连续音调编码静噪系统）技术来避免。CTCSS为每个中继器分配一个特定的亚音频音调，只有携带该音调的信号才能被中继器接收，从而允许相邻的中继器共享相同的频率对。问题要求在40英里半径的圆形区域内，确定容纳1,000名同时用户所需的最少中继器数量。这需要参赛者理解无线电传播的基本原理，如信号衰减、频谱利用率以及干扰规避策略。 解决这两个问题，参赛者不仅需要扎实的数学知识，还需要具备物理、工程和通信学方面的基础知识。数学建模的过程包括问题定义、模型构建、求解和验证，以及模型的解释和改进。这种竞赛鼓励学生跨越学科界限，综合运用多种知识来解决复杂问题，同时也锻炼了他们的创新思维和团队协作能力。