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概率论与数理统计综合试题.pdf
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概率论与数理统计综合试题.pdf
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Ⅱ、综合测试题
一、单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在
题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.下列选项正确的是 ( B ).
A.
A B A B
B.
()A B B A B
C. (A
-
B)+B=A D.
AB AB
2.设
( ) 0, ( ) 0P A P B
,则下列各式中正确的是 ( D ).
A.P(A-B)=P(A)-P(B) B.P(AB)=P(A)P(B)
C. P(A+B)=P(A)+P(B) D. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
3.同时抛掷 3 枚硬币,则至多有 1 枚硬币正面向上的概率是 ( D ).
A.
1
8
B.
1
6
C.
1
4
D.
1
2
4.一套五卷选集随机地放到书架上,则从左到右或从右到左卷号恰为 1,2,3,
4,5 顺序的概率为 ( B ).
A.
1
120
B.
1
60
C.
1
5
D.
1
2
5.设随机事件 A,B 满足
BA
,则下列选项正确的是 ( A ).
A.
( ) ( ) ( )P A B P A P B
B.
( ) ( )P A B P B
C.
( | ) ( )P B A P B
D.
( ) ( )P AB P A
6.设随机变量 X 的概率密度函数为 f (x),则 f (x)一定满足 ( C ).
A.
0 ( ) 1fx
B. f (x)连续
C.
( ) 1f x dx
D.
( ) 1f
7.设离散型随机变量 X 的分布律为
( ) , 1,2,...
2
k
b
P X k k
,且
0b
,则参数
b 的值为
( D ).
A.
1
2
B.
1
3
C.
1
5
D. 1
8.设随机变量 X, Y 都服从[0, 1]上的均匀分布,则
()E X Y
= (A ).
A.1 B.2 C.1.5 D.0
9.设总体 X 服从正态分布,
2
1, ( ) 2EX E X
,
1 2 10
, ,...,X X X
为样本,则样本
均值
10
1
1
10
i
i
XX
~
( D ).
A.
( 1,1)N
B.
(10,1)N
C.
( 10,2)N
D.
1
( 1, )
10
N
10.设总体
2
1 2 3
( , ),( , , )X N X X X
是来自 X 的样本,又
1 2 3
11
ˆ
42
X aX X
是参数
的无偏估计,则 a = (B ).
A. 1 B.
1
4
C.
1
2
D.
1
3
二、填空题(本大题共 15 小题,每小题 2 分,共 30 分)请在每小题的空
格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.已知
12
1
( ) , ( ) , ( )
4
33
P A P B P C
,且事件
C,B,A
相互独立,则事件 A,B,
C 至少有一个事件发生的概率为
6
5
.
12. 一个口袋中有 2 个白球和 3 个黑球,从中任取两个球,则这两个球恰有
一个白球一个黑球的概率是___0.6________.
13.设随机变量
X
的概率分布为
X
0 1 2 3
P
c 2c 3c 4c
)(xF
为
X
的分布函数,则
(2)F
0.6 .
14. 设 X 服从泊松分布,且
3EX
, 则其概率分布律为
......2,1,0ke
k
3
)k(
3-
k
,,
!
XP
.
15.设随机变量 X 的密度函数为
2
2 , 0
()
0, 0
x
ex
fx
x
,则 E(2X+3) = 4 .
16.设二维随机变量(X, Y)的概率密度函数为
22
2
1
( , ) ,
2
xy
f x y e
( , )xy
.则(X, Y)关于 X 的边缘密度函数
()
X
fx
)(
2
-
2
e
2
1
.
17.设随机变量 X 与 Y 相互独立,且
1
( ) 0.5, ( 1) 0.3,
2
P X P Y
则
1
( , 1)
2
P X Y
= 0.15 .
18.已知
,
4, 1, 0.5
XY
DX DY
,则 D(X-Y)= 3 .
19.设 X 的期望 EX 与方差 DX 都存在,请写出切比晓夫不等式
2
)|(|
DX
EXXP
或
2
1|)(|
DX
EXXP
.
20. 对敌人的防御地段进行 100 次轰炸,每次轰炸命中目标的炮弹数是一个
随机变量,其数学期望为 2,方差为 2.25,则在 100 轰炸中有 180 颗到 220 颗炮
弹命中目标的概率为 0.816 . (附:
0
(1.33) 0.908
)
21.设随机变量 X 与 Y 相互独立,且
22
(3), (5)XY
,则随机变量
5
3
X
Y
F(3,5) .
22.设总体 X 服从泊松分布 P(5),
12
, , ,
n
X X X
为来自总体的样本,
X
为样
本均值,则
EX
5 .
23.设总体 X 服从[0,
]上的均匀分布,(1, 0, 1, 2, 1, 1)是样本观测值,则
的
矩估计为_2_________ .
24.设总体
),(~
2
NX
,其中
2
0
2
已知,样本
12
, , ,
n
X X X
来自总体 X,
X
和
2
S
分别是样本均值和样本方差,则参数
的置信水平为 1-
的置信区间为
]
n
[
2
0
2
0
U
n
XUX ,
.
25.在单边假设检验中,原假设为
00
:H
,则备择假设为 H
1
:
01
uu: H
.
三、计算题(本大题共 2 小题,每小题 8 分,共 16 分)
26.设 A,B 为随机事件,
( ) 0.3, ( | ) 0.4, ( | ) 0.5P A P B A P A B
,求
()P AB
及
()P A B
.
解:
( ) ( ) ( | ) 0.3 0.4 0.12P AB P A P B A
由
( | ) 0.5P A B
得:
( | ) 1 0.5 0.5P A B
,因
()
( | )
()
P AB
P A B
PB
故
( ) 0.12
( ) 0.24
( | ) 0.5
P AB
PB
P A B
所以
( ) ( ) ( ) ( ) 0.3 0.24 0.12 0.42.P A B P A P B P AB
27.设总体
0
()
0
x
ex
X f x
~
其它
,其中参数
0
未知,
),,,(
21 n
XXX
是来自 X 的样本,求参数
的极大似然估计.
解:设样本观测值
0, 1,2,..., .
i
x i n
则
似然函数
1
11
( ) ( )
n
i
ii
nn
x
x
n
i
ii
L f x e e
取对数 ln 得:
1
ln ( ) ln
n
i
i
L n x
,令
1
ln ( )
0
n
i
i
d L n
x
d
,
解得 λ 的极大似然估计为
1
1
ˆ
n
i
i
n
x
x
.或 λ 的极大似然估计量为
1
ˆ
X
.
四、综合题(本大题共 2 小题,每小题 12 分,共 24 分)
28.设随机变量 X 的密度函数为
1
, 0 2
2
()
0,
xx
fx
其它
,求:(1)X 的分布函数
F(x);(2)
1
( 1 )
2
PX
;(3) E(2X+1)及 DX.
解:(1)当 x<0 时,F(x)=0.
当
02x
时,
2
0
11
( ) ( )
24
xx
F x f t dt tdt x
.
当
2x
时,
2
02
1
( ) ( ) 0 1
2
xx
F x f t dt tdt dt
.
所以,X 的分布函数为:
2
0, 0
1
( ) , 0 2
4
1, 2
x
F x x x
x
.
(2)
1
( 1 )
2
PX
=
1 1 1
( ) ( 1) 0 .
2 16 16
FF
或
1
( 1 )
2
PX
=
11
22
10
11
( ) .
2 16
f t dt tdt
(3)因为
2
2
0
14
()
23
EX xf x dx x dx
,
2
2 2 3
0
1
( ) 2
2
EX x f x dx x dx
,
所以,
11
(2 1) 2 1
3
E X EX
;
22
2
()
9
DX EX EX
.
29.二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布为
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