3.2.1.1 卡尔曼滤波原理
卡尔曼滤波理论以最小均方误差为估计的最佳准则。对所考虑的随机过程提
出状态模型，用矩阵方式表示，便于解决多变量的同时估计问题。对于观测数据
给出递推估计算法，便于实时处理。它用状态空间形式描述其数学表达式，通过
递归求解。其状态的每一次更新估计都由前一次估计结果和新的输入数据得到，
只需存储前一次的估计值，因此可以节省内存开销。其基本估算原理如下：
随机过程的状态模型可写为
X AX BU
(3.1)
Y CX
(3.2)
式中，
X
为状态向量，
U
为策动噪声向量。
卡尔曼滤波离散随机过程的状态模型由消息过程、观测过程和估计过程组成。
可以写为
(1) 消息模型
1k k k k
X X W
(3.3)
k k k
Y C X
(3.4)
式中，
k
X
为
k
t
时刻的状态向量，
k
为零输入情况下 k 时刻到 k+1 时刻的转
移矩阵，
k
W
为策动噪声向量，定义
{}
T
k k k
Q E W W
，为策动噪声的协方差矩阵。
(2) 观测模型
k k k k
Z H X V
(3.5)
式中，
k
Z
为
k
t
时刻的观测向量，
k
H
为观测矩阵，代表无测量噪声下观测向
量
k
Z
与状态向量
k
X
之间的变换关系，
k
V
为测量噪声向量，定义
{}
T
k k k
R E V V
，
为测量噪声的协方差矩阵。
(3) 估计模型
ˆ ˆ ˆ
()
k k k k k k
X X K Z H X
(3.6)
式中
k
K
是卡尔曼增益矩阵，
ˆ
k
X
是预测估计，代表获得
k
t
时刻的观测值
k
Z
以
前所作的关于
k
X
的估计，并定义预测误差为
ˆ
k k k
E X X
(3.7)
预测误差的协方差矩阵为
{}
T
k k k
P E E E
；
ˆ
()
k k k k
K Z H X
为新信息，代表
由
k
t
时刻的观测值
k
z
得到的关于
k
x
估计的新信息，定义估计误差为
ˆ
k k k
E X X
(3.8)
其协方差矩阵为
{}
T
k k k
P E E E
。估计模型就是利用
k
t
时刻的观测值
k
Z
来纠
正预测估计
ˆ
k
X
，从而得到更新估计
ˆ
k
X
。
由以上定义可得卡尔曼滤波递推方程
