习题一
1.检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域的线性空间:
(1)设 是 阶实数矩阵. 的实系数多项式 的全体,对于矩阵的加
法和数乘;
(2)平面上不平行于某一向量所组成的集合,对于向量的加法和数与向量的
乘法;
(3)全体实数的二元数列,对于如下定义的加法 和数乘 运算:
(4)设 是一切正实数集合,定义如下加法和数乘运算:
其中 ;
(5)二阶常系数非齐次线性微分方程的解的集合,对于通常函数的加法和数
乘;
(6)设 ,
中元素对于通常的加法与数乘,并证明: 是 的一个基,
试确定 的方法.
解 (1)是.
令 .由矩阵的加法和数
乘运算知,
其中 为实数, 是实系数多项式. 中含有 的零多项式,
为 的零元素. 有负元 .由于矩阵加法与数乘运算满足其它
各条,故 关于矩阵加法与数乘运算构成实数域上的线性空间.
(2)否.例如以那个已知向量为对角线的任意平行四边形的两个邻边向量,
它们的和不属于这个集合,因此此集合对向量的加法不封闭.
(3)是. 封闭性显然成立.下面证明此集合满足线性空间的八个要求.
任取该集合中的三个元素,设为 ,以及任意