最小二乘法拟合直线程序

曲线拟合的最小二乘法(基于OpenCV实现)的,拟合图像中离散点的拟合直线 .最小二乘法曲线拟合
2009年12月28日

　　曲线拟合的最小二乘法（基于OpenCV实现）的，拟合图像中离散点的拟合直线 今天使用拟合的最小二乘法，求出了给定的一组坐标系上的点对最接近的直线的。 

　　其具体理论如下： 

　　在科学实验数据处理中，往往要根据一组给定的实验数据 ，求出自变量x与因变量y的函数关系 ，这是 为待定参数，由于观测数据总有误差，且待定参数ai的数量比给定数据点的数量少(即n＜m)，因此它不同于插值问题.这类问题不要求 通过点 ，而只要求在给定点 上的误差 的平方和 最小.当 时，即 

　　(5.8.1) 

　　这里 是线性无关的函数族，假定在 上给出一组数据 ， 以及对应的一组权 ，这里 为权系数，要求 使 最小，其中 

　　(5.8.2) 

　　这就是最小二乘逼近，得到的拟合曲线为y=s(x)，这种方法称为曲线拟合的最小二乘法. 

　　(5.8.2)中 实际上是关于 的多元函数，求I的最小值就是求多元函数I的极值，由极值必要条件，可得 

　　(5.8.3) 

　　根据内积定义(见第三章)引入相应带权内积记号 

　　(5.8.4) 

　　则(5.8.3)可改写为 

　　这是关于参数 的线性方程组，用矩阵表示为 

　　 

　　(5.8.5) 

　　(5.8.5)称为法方程.当 线性无关，且在点集 上至多只有n个不同零点，则称 在X上满足Haar条件，此时(5.8.5)的解存在唯一(证明见［3］).记(5.8.5)的解为 

　　从而得到最小二乘拟合曲线 

　　(5.8.6) 

　　可以证明对 ，有 

　　故(5.8.6)得到的 即为所求的最小二乘解.它的平方误差为 

　　(5.8.7) 

　　均方误差为 

　　在最小二乘逼近中，若取 ，则 ，表示为 

　　(5.8.8) 

　　此时关于系数 的法方程(5.8.5)是病态方程，通常当n≥3时都不直接取 作为基。 

　　源代码如下： 

　　基于OpenCV 

　　int calAngle(IplImage **lpSrc, IplImage **lpRes, double* angle) 

　　{