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一、综述
自适应滤波是近 30 年以来发展起来的 一种最佳滤波方法。它是在维纳滤波,
kalman 滤波等线性滤波基础上发展起来的一种最佳滤波方法。由于它具有更
强的适应性和更优的滤波性能。从而在工程实际中,尤其在信息处理技术中得
到广泛的应用。自适应滤波的研究对象是具有不确定的系统或信息过程。“不确
定”是指所研究的处理信息过程及其环境的数学模型不是完全确定的。其中包含
一些未知因数和随机因数。任何一个实际的信息过程都具有不同程度的不确定
性,这些不确定性有时表现在过程内部,有时表现在过程外部。从过程内部来
讲,描述研究对象即信息动态过程的数学模型的结构和参数是我们事先不知道
的。作为外部环境对信息过程的影响,可以等效地用扰动来表示,这些扰动通
常是不可测的,它们可能是确定的,也可能是随机的。此外一些测量噪音也是
以不同的途径影响信息过程。这些扰动和噪声的统计特性常常是未知的。面对
这些客观存在的各种不确定性,如何综合处理信息过程,并使某一些指定的性
能指标达到最优或近似最优,这就是自适应滤波所要解决的问题。
二、 自适应滤波器的基本原理
所谓的自适应滤波,就是利用前一时刻以获得的滤波器参数的结果,自动的
调节现时刻的滤波器参数,以适应信号和噪声未知的或随时间变化的统计特性,
从而实现最优滤波。自适应滤波器实质上就是一种能调节其自身传输特性以达
到最优的维纳滤波器。自适应滤波器不需要关于输入信号的先验知识,计算量
小,特别适用于实时处理。由于无法预先知道信号和噪声的特性或者它们是随
时间变化的,仅仅用 FIR 和 IIR 两种具有固定滤波系数的滤波器无法实现最优
滤波。在这种情况下,必须设计自适应滤波器,以跟踪信号和噪声的变化。
自适应滤波器的特性变化是由自适应算法通过调整滤波器系数来实现的。一般
而言,自适应滤波器由两部分组成,一是滤波器结构,二是调整滤波器系数的
自适应算法。自适应滤波器的结构采用 FIR 或 IIR 结构均可,由于 IIR 滤波器存
在稳定性问题,因此一般采用 FIR 滤波器作为自适应滤波器的结构。图 1 示出
了自适应滤波器的一般结构。
图 1 中,x(n)为输入信号,y(n)为输出信号,d(n)为参考信号或期望信号,
1
e(n)则是 d(n)和 y(n)的误差信号。自适应滤波器的滤波器系数受误差信号
e(n)控制,根据 e(n)的值和自适应算法自动调整。
图 1 自适应滤波器的原理图
三、 最小均方(LMS)自适应算法的基本原理
最小均方(LMS)自适应算法就是一种已期望响应和滤波输出信号之间误差
的均方值最小为准的,依据输入信号在迭代过程中估计梯度矢量,并更新权系
数以达到最优的自适应迭代算法。LMS 算法是一种梯度最速下降方法,其显著
的特点是它的简单性。这算法不需要计算相应的相关函数,也不需要进行矩阵
运算。
图 2 LMS 自适应原理框图
令 d(n)表 示“ 期望输出信号”,定
义误差信号 e(n)为
2
d(n)
+
-
e(n)
x(n)
参数可调的数字滤波器
∑
自适应算法
y(n)
e(n)=d(n)一 y(n)=d(n)一 x(n)
T
w(n)=d(n)-w(n)
T
x(n) (1)
为了方便起见,将上述式子表示为向量形式,令信号矢量为: x(n)=[x
1
(n),
x
2
(n),…, x
M
(n)]
T
。权矢量为:w(n)=[w
1
(n), w
2
(n),…, w
M
(n)]
T
。则上述式子
表示为:
y(n)=w
T
(n)x(n) (2)
误差序列可写为 e(n)=d(n)-y(n)=d(n)-w
T
(n)x(n) (3)
显然,自适应滤波器控制机理是用误差序列 e(n)按照某种准则和算法对其系数
{ w
i
(n)},i=1,2,…,M 进行调节的,最终使自适应滤波的目标(代价)函
数最小化,达到最佳滤波状态。按照均方误差(MSE)准则所定义的代价函数
是:
F(e(n)) = E[e
2
(n)] = E[d
2
(n)-2d(n)y(n)+y
2
(n)] (4)
将式(2),( 3)代入(4), 目标函数可写成
F(e(n)) = [d
2
(n)]-2w
T
P+w
T
Rw (5)
其中,R=E[x(n)x
T
(n)]是输入信号的自相关矩阵;P=E[d(n)x(n)]是期望信号
与输入信号的互相关矢量。
由式(5)可见,自适应滤波器的代价函数是延迟线抽头系数的二次函数。当
矩阵 R 和矢量 P 已知时,可以由权系数矢量 w 直接求其解。将式(5)对 w 求
其偏导数,并令其等于零,同时假设 R 是非奇异的,由此可得代价函数最小的
最佳滤波系数 w*为
w*=R
-1
P (6)
这个解称为维纳解,即最佳滤波系数值。因为均方误差(MSE)函数是滤波系
数 w 的二次方程,由此形成一个多维的超抛物面,这好像一个碗状曲面又具有
唯一的碗底最小点,通常称之为自适应滤波器的误差性能曲面。当滤波器工作
在平稳随机过程的环境下,这个误差性能曲面就具有固定边缘的恒定形状。自
适应滤波系数的起始值{w
i
(0)},i=1,2,…,M 是任意值,位于误差性能曲
面上某一点,经过自适应调节过程,使对应于滤波系数变化的点移动,朝碗底
最小点方向移动,最终到达碗底最小点,实现了最佳维纳滤波。
自适应过程是在梯度矢量的负方向接连的校正滤波系数的,即在误差性能曲
面的最陡下降法方向移动和逐步校正滤波系数,最终到达均方误差为最小的碗
3
底最小点,获得最佳滤波或准最优工作状态。
令代表 n 时刻的 M×1 维梯度矢量,M 等于滤波器系数的数目;w(n)为自
适应滤波器在 n 时刻的滤波系数或权矢量。按照最陡下降法调节滤波系数,则
在 n+1 时刻的滤波系数或权矢量 w(n+1)可以用下列简单递归关系来计算:
w(n+1)=w(n)-
(
7
)
式中,是控制搜索步长的参数称为自适应增益常数,或收敛参数;是曲面上各
点的梯度。
最 陡 下
降 法 每 次 迭
代都需要知道性能曲面上某点的梯度值,而实际上梯度只能根据观测数据进行
估计。LMS 算法是一种很有用且很简单的估计梯度的方法,这种算法自 60 年
代初提出以后很快得到广泛应用,它的突出优点是计算量小、易于实现,且不
要求脱线计算日。只要自适应线性组合器每次迭代运算时都知道输入信号和参
考响应,那么,选用 LMS 算法就很合适的。
LMS 算法的最核心思想是用平方误差代替均方误差。这样,
(
8
)
表示梯度向量的估计,实际上它是单个平方误差序列的梯度,现用它代替多
个平方误差序列统计平均的梯度,这就是 LMS 算法最基本的思想。
由此,得出 LMS 算法的迭代公式为:
(9)
该 式 说 明 ,
LMS 算 法 实 际 上 是 在
每次迭代中使用很粗略的梯度估计值来代替精确值。不难预计,权系数的调整
路径不可能准确地沿着理想的最陡下降的路径,因而权系数的调整过程是有“噪
声”的。LMS 算法按照式(9)调整权系数时不需要进行平方运算和统计平均运算,
因而实现起来很简单。下一时刻权矢量 w(n+1)等于当前权矢量 w(n)加上一个
修正量,该修正量等于误差信号 e(n)的加权值,加权系数为,它正比于当前的
)(2 n
x
N
4
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资源评论
- 脑海里的橡皮檫2015-05-24还不错,可以参考参考。
- theone1111112012-10-18条理清晰,可惜不是我想要的
- shiww2272012-11-26理解的还是蛮透彻的 但是我要的不是这个 = =
- Good_luck_mf2014-11-26理论学习不错
fezhao
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